三倍角の公式：基礎からおもしろい発展形まで

$\sin 3\theta=-4\sin^3\theta+3\sin\theta$

を証明する。まず，$3\theta=\theta+2\theta$ と分解して，加法定理を使う：

$$\begin{aligned} &\sin 3\theta\\ &=\sin(\theta+2\theta)\\ &=\sin\theta\cos 2\theta+\cos\theta\sin 2\theta \end{aligned}$$

さらに，$2\theta=\theta+\theta$ と分解して，加法定理を使う：

$$\begin{aligned} &\sin\theta\cos 2\theta+\cos\theta\sin 2\theta\\ &=\sin\theta\cos (\theta+\theta)+\cos\theta\sin (\theta+\theta)\\ &=\sin\theta(\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta)\\ &\quad +\cos\theta(\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta)\\ &=3\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta \end{aligned}$$

最後に，三角関数の相互関係 $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ を使う：

$$\begin{aligned} &3\sin\theta\cos^2\theta-\sin^3\theta\\ &=3\sin\theta(1-\sin^2\theta)-\sin^3\theta\\ &=-4\sin^3\theta+3\sin\theta \end{aligned}$$

$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$

を証明する。まず，$3\theta=\theta+2\theta$ と分解して，加法定理を使う：

$$\begin{aligned} &\cos 3\theta\\ &=\cos(\theta+2\theta)\\ &=\cos\theta\cos 2\theta-\sin\theta\sin 2\theta \end{aligned}$$

さらに，$2\theta=\theta+\theta$ と分解して，加法定理を使う：

$$\begin{aligned} &\cos\theta\cos 2\theta-\sin\theta\sin 2\theta\\ &=\cos\theta\cos (\theta+\theta)-\sin\theta\sin (\theta+\theta)\\ &=\cos\theta(\cos\theta\cos\theta-\sin\theta\sin\theta)\\ &\quad -\sin\theta(\sin\theta\cos\theta+\cos\theta\sin\theta)\\ &=-3\sin^2\theta\cos\theta+\cos^3\theta \end{aligned}$$

最後に，$\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$ を使う：

$$\begin{aligned} &-3\sin^2\theta\cos\theta+\cos^3\theta\\ &=-3(1-\cos^2\theta)\cos\theta+\cos^3\theta\\ &=4\cos^3\theta-3\cos\theta \end{aligned}$$

三倍角の公式で左辺を変形すると，

$$\begin{aligned} &-4\sin^3\theta+3\sin\theta=\sin\theta\\ &-4\sin^3\theta+2\sin\theta=0\\ &\sin\theta\left(\sin^2\theta-\dfrac{1}{2}\right)=0\\ &\sin\theta \left( \sin\theta-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( \sin\theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) =0\\ &\sin\theta=0,\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$$

よって $\theta=0,\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3}{4}\pi$

$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$ を変形すると，

$\cos^3\theta=\dfrac{1}{4}\cos 3\theta+\dfrac{3}{4}\cos\theta$

よって，

$$\begin{aligned} &\int \cos^3\theta d\theta\\ &=\dfrac{1}{4} \int\cos 3\theta d\theta+\dfrac{3}{4}\int \cos\theta d\theta\\ &=\dfrac{1}{12}\sin 3\theta+\dfrac{3}{4}\sin\theta+C \end{aligned}$$

$\tan{3\theta} = \dfrac{3\tan{\theta} - \tan^3{\theta}}{1-3\tan^2{\theta}}$

を示す。まず，$3\theta=\theta+2\theta$ と分解して，加法定理を使う：

$$\begin{aligned} &\tan{3\theta}\\ &= \tan{(\theta + 2\theta)} \\ &= \dfrac{\tan{\theta} + \tan{2\theta}}{1-\tan{\theta} \tan{2\theta}} \end{aligned}$$

さらに，$2\theta = \theta + \theta$ と分解して，加法定理を使う：

$$\begin{aligned} &\dfrac{\tan{\theta} + \tan{2\theta}}{1-\tan{\theta} \tan{2\theta}} \\ &= \dfrac{\tan{\theta} + \dfrac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}}{1-\tan{\theta} \dfrac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}}\\ &= \dfrac{\tan{\theta} (1-\tan^2{\theta}) + 2\tan{\theta}}{(1-\tan^2{\theta}) -2\tan^2{\theta}}\\ &= \dfrac{3\tan{\theta} - \tan^3{\theta}}{1-3\tan^2{\theta}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} &\sin3\theta\\ &=-4\sin^3\theta+3\sin\theta\\ &=\sin\theta(-4\sin^2\theta+3)\\ &=\sin\theta(-\sin^2\theta+3\cos^2\theta)\\ &=\sin\theta(\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta)(\sqrt{3}\cos\theta-\sin\theta)\\ &=-4\sin\theta\sin(\theta+60^\circ)\sin(\theta-60^\circ)\\ &\cos3\theta\\ &=4\cos^3\theta-3\cos\theta\\ &=\cos\theta(4\cos^2\theta-3)\\ &=\cos\theta(\cos^2\theta-3\sin^2\theta)\\ &=\cos\theta(\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta)(\cos\theta-\sqrt{3}\sin\theta)\\ &=4\cos\theta\cos(\theta+60^\circ)\cos(\theta-60^\circ) \end{aligned}$$

$\theta=10^{\circ}$ として公式を使う： $$\tan 30^{\circ}=\tan 10^{\circ}\tan 50^{\circ}\tan 70^{\circ}$$ これと $\tan \theta=\dfrac{1}{\tan(90^{\circ}-\theta)}$ より目標の式を得る。

同じく $\theta=10^{\circ}$ として公式を使うと，答えは $\dfrac{1}{3}$