2016/07/13

レプユニット数

分野: 整数問題  レベル: 最難関大学

全ての桁が $1$ である整数をレプユニット数と言う。

$1$、$11$、$111$ などです。Rep(繰り返し)Unit($1$)という意味です。

レプユニット数の性質

$2$ と $5$ 以外の任意の素数 $p$ について、あるレプユニット数 $U$ が存在して、$U$ は $p$ の倍数となる。

レプユニット数の美しい性質です。証明してみます。

証明

$1$ が $k$ 個ならんだ数 $U_k$ は、等比数列の和の公式より、
$U_k=1+10+100+\cdots +10^{k-1}=\dfrac{10^k-1}{9}$
と表すことができる。さて、素数 $p$ に対して、$k$ を $p-1$ ととってみる。つまり、レプユニット数 $\dfrac{10^{p-1}-1}{9}$ について考える。

もし $p$ が $10$ と互いに素なら、フェルマーの小定理より、$10^{p-1}-1$ は $p$ の倍数となる。よって、さらに $p$ が $3$ の倍数でないなら、$\dfrac{10^{p-1}-1}{9}$ は $p$ の倍数となる。
よって、$2,3,5$ 以外の任意の素数 $p$ について、題意の性質が成り立つ。また、$p=3$ のときは、例えば $111$ が $p$ の倍数となっている。

レプユニット数と素数

素数であるレプユニット数をレプユニット素数と言います。

例えば、$11$ はレプユニット素数ですが、
$111=3\times 37$
$1111=11\times 101$
$11111=41\times 271$
となり、合成数が続きます。$U_{19}$、$U_{23}$ などがレプユニット素数になります。

なお、$k$ が $4$ 以上の偶数のとき、$U_k$ は $11$ の倍数となる(→11の倍数の判定法)のでレプユニット素数ではないことが分かります。

$n$ 進法でのレプユニット数

ここまでは、10進法で考えてきましたが、一般に $n$ 進法で考えることもできます。→二進法

$n$ 進法で $1$ が $k$ 個並んだ数は、$\dfrac{n^{k}-1}{n-1}$ と表すことができます。この式から分かるように、二進法でのレプユニット素数はメルセンヌ素数と一致します。→完全数とメルセンヌ素数

久しぶりに高校数学の美しい記事が書けました!
分野: 整数問題  レベル: 最難関大学