レプユニット数

レプユニット数の美しい性質です。証明してみます。

素数であるレプユニット数をレプユニット素数と言います。

例えば，$11$ はレプユニット素数ですが，

$111=3\times 37$

$1111=11\times 101$

$11111=41\times 271$

となり，合成数が続きます。$U_{19}$，$U_{23}$ などがレプユニット素数になります。

なお，$k$ が $4$ 以上の偶数のとき，$U_k$ は $11$ の倍数となる（→11の倍数の判定法）のでレプユニット素数ではないことが分かります。

ここまでは，10進法で考えてきましたが，一般に $n$ 進法で考えることもできます。→二進法

$n$ 進法で $1$ が $k$ 個並んだ数は，$\dfrac{n^{k}-1}{n-1}$ と表すことができます。この式から分かるように，二進法でのレプユニット素数はメルセンヌ素数と一致します。→完全数とメルセンヌ素数