連立漸化式の3通りの解き方

上の式より $b_n=a_{n+1}-3a_n$ （$b_{n+1}=a_{n+2}-3a_{n+1}$）なので，下の式に代入すると，

$a_{n+2}-3a_{n+1}=2a_n+2(a_{n+1}-3a_n)$

$a_{n+2}=5a_{n+1}-4a_n$

この三項間漸化式を $a_1=2$，$a_2=3a_1+b_1=5$ のもとで解く（計算略，解き方は→三項間漸化式の3通りの解き方を参照）

と，$a_n=4^{n-1}+1$

よって，

$b_n=a_{n+1}-3a_n\\ =4^n+1-3(4^{n-1}+1)\\ =4^{n-1}-2$

$a_{n+1}+kb_{n+1}=r(a_n+kb_n)$

となる $k$，$r$ を求める。左辺に与えられた漸化式を代入すると，

$3a_n+b_n+2ka_n+2kb_n=ra_n+rkb_n$

となる。係数を比較すると，$3+2k=r$，$1+2k=rk$

この連立方程式を解くと，$(k,r)=(-1,1),(\frac{1}{2},4)$

よって，

$a_n-b_n=a_{n-1}-b_{n-1}=\cdots =a_1-b_1=3$

$a_n+\frac{1}{2}b_n=4\left(a_{n-1}+\frac{1}{2}b_{n-1}\right)=\cdots =4^{n-1}\left(a_1+\frac{1}{2}b_1\right)=\frac{3\cdot 4^{n-1}}{2}$

この2式を $a_n$，$b_n$ について解くと，

$a_n=4^{n-1}+1$，$b_n=4^{n-1}-2$

連立漸化式を行列の形で書くと，

$\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$

よって，

$\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}^{n-1}\begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix}$

これと，$\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}^{n-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}2\cdot 4^{n-1}+1&4^{n-1}-1\\2\cdot 4^{n-1}-2& 4^{n-1}+2\end{pmatrix}$ である（→行列のn乗の求め方と例題の例題参照）ことから答えが求まる。