2014/12/29

連立方程式の発展的な解き方(検算テクニック)

分野: 方程式,恒等式  レベル: 入試対策

一次連立方程式は代入法,加減法のいずれでも解けるが,クラメルの公式でも解ける。検算用に覚えておくとよい。

二元一次連立方程式

今回の記事で扱うのは非常に単純な二元一次連立方程式です:

具体例:
$2x-3y=1$
$4x-5y=3$

一般形:
$ax+by=p$
$cx+dy=q$

実戦では代入法または加減法で素早く解いて,もとの方程式に代入して成立することの確認&クラメルの公式で検算するというのがオススメです。

代入法と加減法については有名で教科書にも載っていますがクラメルの公式を使っている中高生は少ないです。

クラメルの公式

一般の二元一次連立方程式の解を丸暗記してしまう方法です。クラメルの公式,クラメールの方法などと呼ばれます。

クラメルの公式(二元の場合)
$ad-bc\neq 0$ のとき,連立方程式:$ax+by=p$,$cx+dy=q$ の解は,
$x=\dfrac{pd-bq}{ad-bc},\:y=\dfrac{aq-pc}{ad-bc}$

連立方程式:$2x-3y=1$,$4x-5y=3$ の解はクラメルの公式より,
$x=\dfrac{1\cdot (-5)-(-3)\cdot 3}{2\cdot (-5)-(-3)\cdot 4}=2,\:y=\dfrac{2\cdot 3-1\cdot 4}{2\cdot (-5)-(-3)\cdot 4}=1$

  • クラメルの公式の証明はもとの方程式に代入して成立していることを確認するだけです。計算練習にどうぞ。
  • $ad-bc=0$ のときは解が無数にあるor解が存在しないという特殊な場合になります。
  • やや複雑で覚えるのがめんどくさそうですが,実は綺麗な構造を持っています。慣れるまではやや不愉快な作業ですが,慣れたら代入法,加減法よりも(多くの場合)素早く解くことができます。

クラメルの公式の覚え方

  • $ad-bc$ という量が重要。 $x$ と $y$ の分母にはこの量が来る。
  • $x$ の分子は $ad-bc$ の $a$ を $p$ に,$c$ を $q$ に変えたもの。
  • $y$ の分子は $ad-bc$ の $b$ を $p$ に,$d$ を $q$ に変えたもの。

ということが分かります。
よって,$\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}=ad-bc$(実は行列式と呼ばれる量です)とおくと,

$x=\dfrac{\begin{vmatrix}
p & b \\
q & d
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}},\:y=\dfrac{\begin{vmatrix}
a & p \\
c & q
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}}$
と表すことができます。この形なら覚えやすいですね。

多変数に向けて

代入法,加減法,クラメルの公式。いずれも三元以上の場合にも適用(拡張)できます。

・三元以上のクラメルの公式にも行列式という量が出てきて非常に美しいです。
→行列式の3つの定義と意味
→クラメルの公式の具体例と証明

ただし,三元以上の場合は行列式の計算がかなりめんどくさくなるため実戦向きではありません。

連立方程式は計算ミスしやすいので検算が不可欠です。

Tag: いろいろな方程式の解き方まとめ

分野: 方程式,恒等式  レベル: 入試対策