最終更新:2017/01/03

二次関数の最大値,最小値の2通りの求め方

分野: いろんな関数  レベル: 基本公式

平方完成→グラフを描く→最大値,最小値を求める
or / and
微分する→最大値,最小値を求める

簡単な問題

例題1

二次関数 $y=x^2-4x+5$ の $1\leq x\leq 4$ における最大値,最小値を求めよ。

方法1(平方完成)

$y=x^2-4x+5\\
=x^2-4x+4-4+5\\
=(x-2)^2+1$
よって,この二次関数の頂点は $(2,1)$ であり,二次の係数が正なので下に凸である。

二次関数の最大最小

したがって,グラフは図のようになる。

よって,
最大値は $5$($x=4$ のとき)
最小値は $1$($x=2$ のとき)

方法2(微分)

$y=x^2-4x+5$ を微分すると,
$y’=2x-4$
したがって,$x=2$ がこの二次関数の軸となることが分かる。

また,グラフは $x=2$ に関して対称なので,区間の端の中で,$2$ からより遠い $x=4$ で最大値を取ることが分かる。

よって,
最大値は $5$($x=4$ のとき)
最小値は $1$($x=2$ のとき)

2つの方法について

二次関数の最大値,最小値を求める問題では,

  • 頂点の座標
  • (軸から遠い側の)区間の端における二次関数の値

が分かればOKです。

上の例題で見たように,頂点の座標は平方完成でも微分でも計算できます。計算量はほとんど同じなので,どちらの解き方でも構いません。個人的には平方完成の方法で答案を書いて,微分の方法で検算もするというようにしていました。

定義域が閉区間でない場合

例題2

二次関数 $y=-3x^2-4x+1$ の $-2< x\leq 0$ における最大値,最小値を求めよ。

方法1(平方完成)

$y=-3x^2-4x+1\\
=-3\left(x^2+\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{9}-\dfrac{4}{9}\right)+1\\
=-3\left(x+\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{7}{3}$
よって,この二次関数の頂点は $\left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{7}{3}\right)$ であり,二次の係数が負なので上に凸である。
二次関数の最小値が存在しない場合
したがって,グラフは図のようになる。

よって,
最大値は $\dfrac{7}{3}$($x=-\dfrac{2}{3}$ のとき)
最小値は存在しない

方法2(微分)

$y=-3x^2-4x+1$ を微分すると,
$y’=-6x-4$
したがって,$x=-\dfrac{2}{3}$ がこの二次関数の軸となることが分かる。

また,グラフは $x=-\dfrac{2}{3}$ に関して対称である。そして,区間の「端」の中で,$-\dfrac{2}{3}$ からより遠い側の端点は定義域に含まれない。

よって,
最大値は $\dfrac{7}{3}$($x=-\dfrac{2}{3}$ のとき)
最小値は存在しない

年始ということで,初心に戻って基礎から。
分野: いろんな関数  レベル: 基本公式