2015/06/27

二次不等式の解き方(2通りの考え方)と例題

分野: 不等式  レベル: 基本公式

二次不等式を解く際の二通りの考え方を解説します。二つとも結局やることは同じになりますが,考え方は違います!

1.グラフを用いた解法

$y=f(x)$ のグラフの概形が書ければ不等式 $f(x) > 0$,$f(x)\geq 0$ などは解ける。

例題1

二次不等式 $x^2-4x+3 > 0$ を解け。

解答

$x^2-4x+3 > 0$ を解きたい
$\to y=x^2-4x+3$ が正となる $x$ を求めたい
$\to y=x^2-4x+3$ という二次関数のグラフが $x$ 軸より上側にあるような $x$ を求めたい

二次不等式の例題

というわけで,$y=x^2-4x+3$ のグラフの概形を書く。これは下に凸な放物線。
$x$ 軸との交点の座標が必要になるので $x^2-4x+3=0$ を解く。
$(x-1)(x-3)=0$ より $x=1,3$ となる。

よって,図より答えは $x <1,\:3 <x$


例題2

二次不等式 $x^2-6x+7\leq 0$ を解け。

解答

$y=x^2-6x+7$ という二次関数のグラフが $x$ 軸より下側($x$ 軸上もOK)にあるような $x$ を求めたい。

二次不等式の例題2

というわけで,$y=x^2-6x+7$ のグラフの概形を書く。
$x$ 軸との交点の座標が必要になるので $x^2-6x+7=0$ を解く。
解の公式より $x=3\pm\sqrt{2}$ となる。

よって,図より答えは $3-\sqrt{2} \leq x \leq 3+\sqrt{2}$

2.因数分解する方法

$f(x)$ が因数分解できれば不等式 $f(x) > 0$,$f(x)\geq 0$ などは解ける。

例題1(再掲):二次不等式 $x^2-4x+3 > 0$ を解け。

解答

左辺を因数分解すると$(x-1)(x-3)$ となる。
$(x-1)(x-3)$ の符号は,

  • $x <1$ のときマイナス×マイナスでプラス
  • $1 <x <3$ のときプラス×マイナスでマイナス
  • $3 <x$ のときプラス×プラスでプラス

よって答えは $x <1, 3 <x$


例題2(再掲):二次不等式 $x^2-6x+7\leq 0$ を解け。

解答

左辺を因数分解したいが簡単にできなさそう。そこで因数定理を使う。
左辺を因数分解するために $x^2-6x+7=0$ を解く。
解の公式より $\alpha=3-\sqrt{2},\beta=3+\sqrt{2}$ が求まる。

よって,左辺は$(x-\alpha)(x-\beta)$ と因数分解できるのでこの符号を調べればよい。

  • $x <\alpha$ のときマイナス×マイナスでプラス
  • $\alpha <x <\beta$ のときプラス×マイナスでマイナス
  • $\beta <x$ のときプラス×プラスでプラス

よって答えは $\alpha \leq x \leq \beta$ つまり $3-\sqrt{2} \leq x\leq 3+\sqrt{2}$

グラフか因数分解か

考え方1「グラフを描いて $y$ 軸より上側(下側)にある部分を採用」
考え方2「因数分解して符号を直接調べる」

多くの教科書では考え方1を採用しています。二次不等式の場合どちらも結局やることとしては同じ(方程式 $f(x)=0$ を解くことになる)ですが(より複雑な不等式を解く際)考え方2も重要なので理解しておいてください!

二次方程式の解が存在しない場合

二次方程式 $f(x)=0$ に実数解が存在しない場合は(グラフの概形を描いてもよいですが)平方完成すればOKです!

例題3

二次不等式 $x^2+2x+4\geq 0$ を解け。

解答

左辺は$(x+1)^2+3$ となり任意の実数 $x$ に対して不等式は成立する。


例題4

二次不等式 $2x^2-8x+9\leq 0$ を解け。

解答

左辺は $2(x-2)^2+1$ となり任意の実数 $x$ に対して不等式は成立しない。つまり解なし。

二次不等式も嫌いではありませんが,僕は多変数の対称な不等式が好きです!

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