2014/02/26

問題集その1

分野: 難問・良問  レベル: 最難関大学

問題1−1:$100!$ の末尾の $0$ の個数を求めよ。

問題1−2:$x+\dfrac{1}{x^2}$ の $x>0$ の範囲での最小値とそのときの $x$ の値を求めよ。

問題1−3:不定積分 $\displaystyle\int e^{-2x}\sin 3xdx$ を求めよ。

問題1−4:三角形 $ABC$ 内に点 $P$ があり,$2\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+4\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$ が成立するとき,三角形 $PAB$ の面積は三角形 $PBC$ の面積の何倍になるか求めよ。

問題1−5:四角形 $ABCD$ において,$AB=5, BC=6, CD=7, DA=8, ∠ABC+∠ADC=180^{\circ}$ が成立する。四角形 $ABCD$ の面積 $S$ を求めよ。

解答

1−1の解答:
ルジャンドルの定理より,$100!$を $5$ で割れる回数は
$\Big\lfloor \dfrac{100}{5} \Big\rfloor+\Big\lfloor \dfrac{100}{25} \Big\rfloor=20+4=24回$
よって,答えは24個


1−2の解答:
微分法を用いてもよいが,相加相乗平均の不等式を用いる。
$x+\dfrac{1}{x^2}\\=\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{x^2}\\
\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{x}{2}\cdot \dfrac{x}{2}\cdot \dfrac{1}{x^2}}\\
=3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$
求める最小値は, $3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$
また,等号成立条件は,$\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{x^2}$
つまり, $x=\sqrt[3]{2}$ のとき。


1−3の解答:
部分積分を2回行ってゴリゴリ計算してもよい。
指数関数と三角関数の積の積分公式から,
答えは,$\displaystyle\int e^{-2x}\sin 3xdx=$$-\dfrac{e^{-2x}}{13}(2\sin 3x+3 \cos 3x)+C$


1−4の解答:
ベクトルと面積比の公式より△ $PAB$:△ $PBC$ =4:2となる。答えは2倍


1−5の解答:
$∠ABC+∠ADC=180^{\circ}$ より四角形 $ABCD$ は円に内接する四角形である。よってブラーマグプタの公式より,
$S=\sqrt{(13-5)(13-6)(13-7)(13-8)}=$ $4\sqrt{105}$


分野: 難問・良問  レベル: 最難関大学