累乗平均の不等式の具体例と証明

一般形だと分かりにくいのでまずは $n=2$ で様子を見てみます：

$f(p)=\left(\dfrac{x_1^p+x_2^p}{2}\right)^{\frac{1}{p}}$

です。

• $p=1$ と $2$ の場合を考えると， $$\dfrac{x_1+x_2}{2}\leq\sqrt{\dfrac{x_1^2+x_2^2}{2}}$$
• $p=1$ と $3$ の場合を考えると， $$\dfrac{x_1+x_2}{2}\leq\sqrt[3]{\dfrac{x_1^3+x_2^3}{2}}$$

次に，一般の $n$ に対して $p=1$ と $2$ の場合を考えると， $$\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\leq\sqrt{\dfrac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}}$$ 等号成立条件はいずれも「全ての $x_k$ たちが等しい」です。$p=1$ と $2$ の場合の大小関係（二乗平均と相加平均の不等式）がよく用いられます。

以下では累乗平均の不等式を証明します。

目標は，任意の $p,\:q\:(p\geq q)$ に対して $f(p)\geq f(q)$ を示すことです。とりあえず重要そうな $q=1$ の場合の証明を試みます。

イェンゼンの不等式（凸関数の不等式）に慣れていれば $g(x)=x^p$ にイェンゼンの不等式を使いたくなるところです。

示したい不等式は，任意の非負の実数 $x_k$ たちと $p,q\; (p\geq q)$ に対して，

$$\left(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k^p\right)^{\frac{1}{p}}\geq \left(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^nx_k^q\right)^{\frac{1}{q}}$$

でした。

ここで，うまく変数変換をすると小さい方を $1$ ノルムの形にできます。つまり，さきほどの形に帰着できます！