半正定値対称行列の意味と性質【固有値・二次形式・分解・小行列式】

半正定値 $\iff$ 固有値がすべて $0$ 以上，を示す。正定値についても同様。

$A$ は対称行列なので，直交行列 $P$ と実対角行列 $D$ を用いて $A=P^{\top}DP$ と対角化できる。 $D$ の対角成分には $A$ の固有値 $\lambda_i$ が並ぶ。

よって，二次形式の値は $P\overrightarrow{x}=\overrightarrow{y}$ とおくと，

$\overrightarrow{x}^{\top}A\overrightarrow{x}=(P\overrightarrow{x})^{\top}D(P\overrightarrow{x})\\ =\overrightarrow{y}^{\top}D\overrightarrow{y}\\ =\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_iy_i^2$

よって，

• $A$ が半正定値なら，二次形式は明らかに $0$ 以上

• 逆に，二次形式が $0$ 以上なら，$\overrightarrow{y}=\overrightarrow{e}_i$ （第 $i$ 成分が $1$ でそれ以外 $0$ であるベクトル）となるようにする，つまり $\overrightarrow{x}=P^{\top}\overrightarrow{e}_i$ とおけば $\lambda_i\geq 0$ となり半正定値である。

$\Rightarrow$ を証明する。

$A$ を対角化した式： $A=P^{\top}DP$ において，$D$ の対角成分は非負なので，それぞれの平方根を取った実行列 $D^{\frac{1}{2}}$ を持ってこれる。このとき，$A=(D^{\frac{1}{2}}P)^{\top}D^{\frac{1}{2}}P$ となる。

$\Leftarrow$ を証明する。

$A=U^{\top}U$ と書けるとき，二次形式は以下のように非負となる：

$$\overrightarrow{x}^{\top}A\overrightarrow{x}=(U\overrightarrow{x})^{\top}(U\overrightarrow{x}) =\|U\overrightarrow{x}\|^2\geq 0$$ よって，定理1より $A$ は半正定値。

「半正定値ならば主小行列式が非負」を示す。

$A$ の任意の主小行列を $B$ とする。

$A$ の二次形式が非負なので，$B$ の二次形式も非負である。よって定理1から $B$ の固有値は全て非負。行列式は全固有値の積なので，$B$ の行列式は非負。

3通りの方法で証明できる。

• (二次形式：)$\overrightarrow{x}^{\top}S^{\top}AS\overrightarrow{x}=(S\overrightarrow{x})^{\top}A(S\overrightarrow{x})\geq 0$

• (固有値：)合同変換で固有値の符号は不変。→シルベスターの慣性法則の意味と証明

• (分解：)$A=U^{\top}U$ なら $S^{\top}AS=(US)^{\top}A(US)$