2016/02/11

順列と組合せの違いと例題

分野: 場合の数  レベル: 基本公式

順列:順番を区別する
組合せ:順番を区別しない

前半は順列,組合せの意味。後半は練習問題です。

順列(パーミュテーション)の意味

$m$ 個のものから $n$ 個を選んで並べたもの(順列)の総数を ${}_m\mathrm{P}_n$ と書きます。

例題1

$3$ 枚の異なるカード A,B,C から $2$ 枚選んで並べる場合の数を求めよ。

ABとBAは順列としては別物です。

解答

AB,AC,BA,BC,CA,CB の $6$ 通り。


一般に,${}_m\mathrm{P}_n$ について,1つ目の選び方が $m$ 通り,2つめの選び方が $m-1$ 通り,$\cdots$,$n$ 個めの選び方が $m-n+1$ 通りなので,
${}_m\mathrm{P}_n=m(m-1)\cdots (m-n+1)=\dfrac{m!}{(m-n)!}$ です。上の例では ${}_3\mathrm{P}_2=3\times 2=6$ となっています。

組合せ(コンビネーション)の意味

$m$ 個のものから $n$ 個を選んだもの(組合せ)の場合の数を ${}_m\mathrm{C}_n$ と書きます。

例題2

$3$ 枚の異なるカード A,B,C から $2$ 枚選ぶ場合の数を求めよ。

$\{\mathrm{A,B}\}$ と $\{\mathrm{B,A}\}$ は組合せとしては同じものです。

解答

$\{\mathrm{A,B}\}$,$\{\mathrm{A,C}\}$,$\{\mathrm{B,C}\}$ の $3$ 通り。


一般に,${}_m\mathrm{C}_n$ について(順列としては $n!$ 個ずつ同じものがあるので),
${}_m\mathrm{C}_n=\dfrac{{}_m\mathrm{P}_n}{n!}=\dfrac{m!}{n!(m-n)!}$ です。上の例では ${}_3\mathrm{C}_2=\dfrac{3!}{2!1!}=3$ です。

練習問題

順列と組合せの問題を混ぜました。順列と組合せの違いに注意しながら,考えてみてください。

例題3

(1) $5$ 人の中から $2$ 人代表を選ぶ方法の数を求めよ。
(2) $5$ 人の中からリーダーと副リーダーを選ぶ方法の数を求めよ。
(3) $3$ 桁の正の整数で各桁の数字が $0$ でなくて全て異なるものはいくつあるか。
(4) $47$ 都道府県から $5$ つ選ぶ場合の数はいくつあるか。

解答

(1) 順番を区別しないので,${}_5\mathrm{C}_2=10$ 通り。
(2) リーダーと副リーダーは別物なので,${}_5\mathrm{P}_2=20$ 通り。
(3) 例えば $123$ と $321$ は別物なので,${}_9\mathrm{P}_3=504$ 通り。
(4) 順番を区別しないので,${}_{47}\mathrm{C}_5=1533939$ 通り。

区別する,しない,に関する発展的な話題として,写像12相もどうぞ。

分かる人はすぐ分かるけど,分からない人は長い間つまずく話題です。

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