nのn乗根の最大項と極限

※をきちんと証明するなら例えば，

• まず $e^x\geq 1+x+\dfrac{x^2}{2}$ を示す。→マクローリン型不等式（指数関数）
• 次に，はさみうちの原理から $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{e^x}\leq\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{1+x+\frac{x^2}{2}}=0$ がわかる。
• 最後に $x$ を $\log x$ と置くと※を得る。

次は数列 $a_n$ の増減を調べるために $y=f(x)$ のグラフについて考えます。

きちんとグラフを描くには微分して増減表を書く必要がありますが，微分しなくても大雑把なグラフの概形はイメージできます。

$\dfrac{\log x}{x}$ は「グラフ $y=\log x$ 上の点 $(x,\log x)$ と原点を結ぶ直線の傾き」であることに注意すれば概形をイメージできます。

1. $x$ が $0$ に近いとき傾きは $-\infty$ から出発（赤）
2. $x=1$ で傾き $0$ になる（黒 $x$ 軸）
3. $x=e$ で傾き最大（紫）
4. その後ゆるやかに減少して $0$ へ収束（青）

注：「傾きが最大になるのが $x=e$ のとき」というのは微分を用いて分かることです。結局微分を使う必要があるのですが，あらかじめグラフの概形が分かっていると微分で計算ミスをしたときにすぐ気づけます。

グラフが描ければ冒頭の問題に解答できます。 $a_n$ と $a_m$ の大小関係は $f(n)$ と $f(m)$ の大小関係と同じなので。 $f(n)$ が最大となる $n$ を求めればよいわけです。

それはグラフより $n=2$ または $n=3$ の場合です。（$n=3$ の方が大きそうですが）実際に近似的に値を計算すると，

$\sqrt{2}=1.41,\sqrt[3]{3}=1.44$ となり $a_3$ が最大です。

（$\log \sqrt[3]{3}-\log \sqrt{2}=\dfrac{\log 3^2-\log 2^3}{6}> 0$ からも大小関係が分かります）

この問題の両辺をよく見ると $$\sqrt[e]{e} > \sqrt[\pi]{\pi}$$ を示せばよいことが分かります。あとは簡単ですね！

→ 有名不等式 e^π > π^e の証明

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