2015/03/21

全ての三角形が二等辺三角形であることの証明!?

分野: 平面図形  レベル: マニアック

有名な嘘の証明です。
全ての三角形が二等辺三角形であること,さらに正三角形であることの証明を解説します。もちろんそのような命題が成立するはずはないので証明のどこかに嘘があります。探してみてください!

全ての三角形が二等辺三角形であることの証明

「全ての三角形が二等辺三角形である,さらに正三角形である」ことの巧妙な証明です。

嘘の証明

1.三角形 $ABC$ において,角 $A$ の二等分線と $BC$ の垂直二等分線の交点を $D$ とおく。 $D$ から $AB,AC$ に下ろした垂線の足を $E,F$ とおく。

2.このとき,直角三角形 $ADE$ と $ADF$ は合同(角度が全て等しく斜辺は共通)。よって $DE=DF$,$AE=AF$ 。

二等辺三角形であることの証明

3.また,$BC$ の中点を $M$ とおくと三角形 $DBM$ と $DCM$ は合同(二辺とその間の角がそれぞれ等しい)。よって $DB=DC$

4.上の二つの結果より,三角形 $DEB$ と $DFC$ は合同(直角三角形において斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい)。よって $EB=FC$

5.以上により $AB=AE+EB=AF+FC=AC$

6.よって,三角形 $ABC$ は二等辺三角形である。同じことが辺 $BC,BA$ に対しても言えるので,結局三角形 $ABC$ は正三角形である。

さあ,どこに穴があるでしょうか?ここから下に答えがあります,答えを見る前に考えてみてください!

出題意図

(スクロールの勢い余って答えを見てしまうのを防ぐために,スペース稼ぎの意味も込めて)嘘の証明を学ぶ意味について。

  • 単純にクイズとしておもしろい,友達に出題したくなる。
  • それっぽい証明の穴をつくのは数学の研究でも重要。
  • 嘘の証明から学ぶこともある。この場合は図形問題の練習になる。

答え

意外な所に落とし穴があります!

二等辺三角形でない

$D$ が三角形 $ABC$ の内部にはないので上の図が間違っている。よって,5において $AB=AE+EB$ 成立しないので証明は間違い。

というのが答えです。例えば $AB <AC$ のとき,角 $A$ の二等分線と $BC$ の交点を $X$ とおくと,角の二等分線定理より $BX <BM$ となり,線分 $AX$ は $BC$ の垂直二等分線と交わりません。

正三角形であることの証明アゲイン

上の「答え」に対して,嘘の証明を修正してみました!

全て正三角形

(嘘の証明)
$D$ が三角形 $ABC$ の外部にあるときも,先ほどの証明において1〜4は成立する。

5は $AB=AE-EB=AF-FC=AC$ と修正することで結局 $AB=AC$ が証明できる。よって,三角形 $ABC$ は二等辺三角形であり,したがって(対称性より)正三角形である。

この証明の反論も考えてみてください!下に答えがあります。

アゲインの答え

完全な答え

やっぱり図が間違いです。正しい図を書いてみると,例えば $AB <AC$ のとき, $E$ は線分 $AB$ 上になく,一方 $F$ は線分 $AC$ 上にあります。したがって,$AB=AE-EB,\:AC=AF+FC$ になります。よって,やはり5の部分が間違い。

ちなみに,このような図になるのは以下のいずれかの方法で納得できます。

最終的にシムソンの定理で説明できることに感動。

Tag: 難しめの数学雑学・ネタまとめ

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