2014/05/31

2つの円の位置関係

分野: 平面図形  レベル: 入試対策

2つの円の位置関係は5通りあり,中心間の距離と半径によって状況が変わってくるのでどのパターンなのか把握することが重要です。このページでは5通りの分類,交点,接線,相似の中心について整理します。

2つの円の位置関係5パターン

2つの円の位置関係

2つの円の半径 $r_1,r_2$ が異なる場合を考えます。

パターン0:片方が他方の円を含む($d < |r_1-r_2|$)
パターン1:2つの円が内接する($d = |r_1-r_2|$)
パターン2:2つの円が2点で交わる($|r_1-r_2| < d < |r_1+r_2|$)
パターン3:2つの円が外接している($d = |r_1+r_2|$)
パターン4:2つの円が離れている($d > |r_1+r_2|$)

  • 式を覚える必要はありません。中心間の距離 $d$ を $0$ から徐々に大きくしていくことで全てのパターンを網羅することができます。5通りの図がスラスラ描けることが重要です。
  • 教科書には重要そうに書いていますが,交点の数も覚える必要ありません。図を見れば分かるからです。
  • パターン $n$ の共通接線は $n$ 本あります。共通接線の長さを求める問題が頻出です。
  • $r_1=r_2$ の場合はパターン0と1がなくなり,パターン $\infty$(2つの円が重なる)が加わります。
  • パターン2の場合には根軸なるものが定義されます。→根軸の性質と根心の存在定理

共通接線にまつわる発展的な話題

  • 2つの円の共通内接線の交点,共通外接線の交点は相似の中心になっています。(相似の中心に関しては接する2つの円の相似の中心参照)
  • 共通外接線の交点を中心とする相似の拡大比はプラスです。共通内接線の交点を中心とする相似の拡大比はマイナスです。
  • 4つの円の共通外接線の長さの関係式としてケージーの定理が挙げられます。ケージーの定理はトレミーの定理の一般化で非常にエレガントです。「点は半径が無限小の円とみなす」というのが面白い考え方です。
    →ケージーの定理とその証明
最近難易度を上げすぎたのでたまには易しい記事も載せていこうと思います。

Tag: 数学Aの教科書に載っている公式の解説一覧

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