2015/09/15

ナルシシスト数について

分野: 整数問題  レベル: マニアック

ナルシシスト数(Narcissistic Number)の意味,有限個しかないことの証明などを解説します。

ナルシシスト数とは

$n$ 桁の正の整数 $N$ について,各桁の $n$ 乗の和がもとの数に等しいとき,$N$ をナルシシスト数と言います。

例えば,$371=3^3+7^3+1^3$ なので $371$ はナルシシスト数です。
$1634=1^4+6^4+3^4+4^4$ なので $1634$ はナルシシスト数です。

ナルシシスト数は有限個

ナルシシスト数は有限個しかない

証明はちょうどよい練習問題レベルです。

証明

$n$ 桁の数 $N$ について考える。
$N$ の各桁の $n$ 乗の和は,最大で $9^n+9^n+\cdots +9^n=n9^n$

また,$N$ は $n$ 桁なので $N\geq 10^{n-1}$

よって,$N$ がナルシシスト数なら
$10^{n-1}\leq n9^n$ が必要。
変形すると,$\left(\dfrac{10}{9}\right)^{n-1}\leq 9n$

これは $n$ が十分大きいとき不成立(指数関数は一次関数より強い→指数関数の極限と爆発性)。

注:実際 $n\geq 61$ だと上の不等式は破れます。

十進数以外のナルシシスト数

十進数以外のナルシシスト数も考えることができます。

例えば五進数で $23$ という数字(十進数で $13$ に対応)はナルシシスト数です。実際,$2^2+3^2=4+14=23$(計算は全て五進数でやっていることに注意)となっています。

正の整数 $N$ がナルシシスト数であるかどうかは何進数で考えるかによります。

十進数のナルシシスト数一覧

($0$ もナルシシスト数とみなせば)全部で $88$ 個あります。

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
153,370,371,407,
1634,8208,9474,
54748,92727,93084,
548834,1741725,4210818,
9800817,9926315,24678050,
24678051,88593477,146511208,
472335975,534494836,
912985153,4679307774

全部書こうと思ったのですが,長いので十桁以下のもののみ書きました。全て知りたい人は以下のソースをご覧ください。
ソース:Wolfram MathWorld
(今回の記事は上記リンク先を参考にしました)

名前が面白いです。口に出して言いたい数学用語ランキングがあったら多分上位です。
分野: 整数問題  レベル: マニアック