接する２つの円の相似の中心

2つの円 $C_1:x^2+(y-r_1)^2=r_1^2$，$C_2:x^2+(y-r_2)^2=r_2^2$ の相似の中心が原点であることを示せば良い。

円 $C_1$ 上の点 $A$ は $(r_1\cos\theta,r_1+r_1\sin\theta)$ と表せる。原点を中心に $A$ を $\dfrac{r_2}{r_1}$ 倍に拡大すると，$A':(r_2\cos\theta,r_2+r_2\sin\theta)$ となり，円 $C_2$ 上の点に移る。

また，$A$ が円 $C_1$ 上全体を動くとき $A'$ は $C_2$ 上全体を動くので原点（接点）が相似の中心であることが示された。

2つの円は点 $P$ を相似の中心とする相似な図形である。 $(P,Q,M)$，$(P,O',O)$ はそれぞれ同一直線上にあるので $Q$ と $M$ , $O'$ と $O$ はそれぞれ対応する点である。よって $QO'$ と $MO$ は平行である。

よって，直線 $MO$ は $O$ を通り $AB$ と垂直なので，$M$ は弧 $AB$ の中点である。

さきほどの定理より $P,Q,M$ は一直線上にある。

$MA=MB$ と円周角の定理より，$\angle MAB=\angle MBA=\angle MPA$

よって，三角形 $MAQ$ と $MPA$ は相似であり，$MP\cdot MQ=MA^2$ =一定となる。