2015/09/14

内分点,外分点の公式と証明

分野: 座標,ベクトル  レベル: 基本公式

高校数学の教科書でしつこいくらい(4回も!)登場する内分点,外分点の公式について。

内分点,外分点の意味

内分,外分

定義

線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$
→ $AP:PB=m:n$ を満たす点で線分 $AB$ の内側にあるもの

線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $Q$
→ $AQ:QB=m:n$ を満たす点で線分 $AB$ の外側にあるもの

諸注意

  • 図は $m:n=3:1$ くらい
  • 内分は分かりやすいが,外分の定義は忘れやすいので注意
  • $m > n$ のときは $Q$ は $B$ 側にあり,$m < n$ のときは $Q$ は $A$ 側にある
  • $m=n$ のとき $P$ は線分 $AB$ の中点,外分点 $Q$ は存在しない(強いて言うなら無限遠点)

内分点,外分点の公式(座標)

$A(x_A,y_A)$,$B(x_B,y_B)$ のとき
線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$ の座標は $\left(\dfrac{nx_A+mx_B}{m+n},\dfrac{ny_A+my_B}{m+n}\right)$

線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $Q$ の座標は $\left(\dfrac{-nx_A+mx_B}{m-n},\dfrac{-ny_A+my_B}{m-n}\right)$

空間座標の場合は $z$ 座標が同じように加わるだけです。

内分点,外分点の公式(ベクトル)

$A$ の位置ベクトルを $\vec{a}$,$B$ の位置ベクトルを $\vec{b}$ とするとき,
線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$ の位置ベクトルは $\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$

線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $Q$ の位置ベクトルは $\dfrac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$

内分点,外分点の公式(複素数平面)

複素数平面において,$A(z_A)$,$B(z_B)$ とするとき,
線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点 $P$ を表す複素数は $\dfrac{nz_A+mz_B}{m+n}$

線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点 $Q$ を表す複素数は $\dfrac{-nz_A+mz_B}{m-n}$

証明

座標版,ベクトル版,複素数平面版,それぞれ表現方法は異なりますが全て同じ公式です。証明も同じようにできます。ここではベクトルの言葉で書きます。

内分,外分の公式の証明

証明

内分点

$\vec{AP}=\dfrac{m}{m+n}\vec{AB}$ より
$\vec{p}=\vec{a}+\dfrac{m}{m+n}\vec{AB}$
であり,右辺を変形すると
$\vec{a}+\dfrac{m}{m+n}(\vec{b}-\vec{a})\\
=\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$
となる。

外分点

$m > n$ のときを証明する($m < n$ のときも同様にできる)。
$\vec{AQ}=\dfrac{m}{m-n}\vec{AB}$ より
$\vec{q}=\vec{a}+\dfrac{m}{m-n}(\vec{b}-\vec{a})$
であり,右辺を変形すると $\dfrac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$ となる。

内分点,外分点の公式はよく使うので丸暗記をオススメしますが,このように一瞬で導出できるので忘れても問題ありません。

同じ公式が四回も(座標,平面ベクトル,空間ベクトル,複素数平面)登場することで教科書の紙面を圧迫しています。

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