モーザー数列

$n=1$ のときは明らか。

$n=k$ のとき主張が正しいと仮定する。$k+1$ 個の頂点が一般の位置にある場合について考える。頂点を（時計回りの順番で）$P_0,P_1,\cdots,P_k$ とする。

$P_1,\cdots,P_k$ たちを結ぶ線分によって領域は $a_k$ 個に分割される（帰納法の仮定）。そこに線分 $P_0P_i\:(i=1,\cdots,k)$ を追加することで領域がいくつ増えるかを考える。

線分 $P_0P_i$ は $(i-1)(k-i)$ 本の線分とぶつかるので，領域を $(i-1)(k-i)+1$ 個増やす。

よって，$P_0$ を追加することで，領域は

$\displaystyle\sum_{i=1}^k\{(i-1)(k-i)+1\}\\ =-\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)\dfrac{k(k+1)}{2}+(1-k)k\\ =\dfrac{1}{6}k^3-\dfrac{1}{2}k^2+\dfrac{4}{3}k$

個増える。

よって，$k+1$ 個の頂点が一般の位置にある場合の領域の個数は

$a_k+\dfrac{1}{6}k^3-\dfrac{1}{2}k^2+\dfrac{4}{3}k$

これが $a_{k+1}$ と等しいことは簡単な計算で確認できる。