2014/04/02

フランク・モーリーの定理の証明

分野: 平面図形  レベル: マニアック

morley

フランクモーリーの定理:
任意の三角形 $ABC$ に対して,3つの角の三等分線どうしが最初にぶつかる点を $P, Q, R$ とおくとき三角形 $PQR$ は正三角形である。


別名:モーレーの定理,Morley’s trisector theorem。
ステートメントも単純で非常に美しい定理ですが,実用的な定理ではありません。しかし,この定理の証明からは多くのことを学べます。証明を見る前に是非トライしてみてください。

証明の道具

フランクモーリーの定理の証明はいくつか知られていますが,まずはどの道具を使うか考えます。

一般に図形の性質を証明する方法は大きく分けて3つあります:

  • 初等幾何,図形的な性質のみで証明
  • 三角関数を用いてゴリゴリ計算
  • 座標またはベクトルを用いた解析幾何的アプローチ

しかし,一般的に座標やベクトルは「直角以外の角度を扱うのが難しい」のでフランクモーリーの定理の証明には向いていません。そこで,このページでは三角関数を用いてゴリゴリ計算する方法で証明していきます。
ちなみに,図形的な性質だけでフランクモーリーの定理を証明する方法は三角形と円の幾何学という本に載っています。

証明の方針

$QR$ の長さを三角形 $ABC$ の情報(角度,長さ)で表したときに,$A, B, C$ に関して対称であることを示せれば $PQ=QR=RP$ が言えます。そこで,三角形 $ARQ$ に余弦定理を使いたくなります。そのためには,$AR,AQ$ を三角形 $ABC$ の情報で表す必要があるので,三角形 $ARB$ に注目します。

また,辺の情報と角度の情報が混在していると複雑になるので,辺の情報は正弦定理で角度の情報に変換します。(外接円の半径 $R$ は $A, B, C$ に関して「対称」なので扱い易い)

$AR$ の形をにらんで変形三倍角の公式がひらめくとよいです。(→三倍角の公式と変形三倍角の公式)ここがこの証明一番の難所です。

フランクモーリーの定理の証明

証明

morley

三角形 $ARB$ に正弦定理を用いて $AR$ を三角形 $ABC$ の情報で表す:
$AR=\dfrac{c\sin(\tfrac{B}{3})}{\sin(\pi-\tfrac{A}{3}-\tfrac{B}{3})}\\
=\dfrac{c\sin(\tfrac{B}{3})}{\sin(\tfrac{A+B}{3})}\\
=2R\sin C\dfrac{\sin(\tfrac{B}{3})}{\sin(\tfrac{\pi-C}{3})}$
ただし,最後の変形で三角形 $ABC$ に正弦定理を用いた。
ここで,変形三倍角の公式:
$\sin C=4\sin\dfrac{C}{3}\sin(\dfrac{\pi-C}{3})\sin(\dfrac{\pi+C}{3})$
を用いると
$AR=8R\sin\dfrac{B}{3}\sin\dfrac{C}{3}\sin(\dfrac{\pi+C}{3})$
同様にして,
$AQ=8R\sin\dfrac{B}{3}\sin\dfrac{C}{3}\sin(\dfrac{\pi+B}{3})$
出てきた式より,$\dfrac{AQ}{\sin(\dfrac{\pi+B}{3})}=\dfrac{AR}{\sin(\dfrac{\pi+C}{3})}$ が分かるので余弦定理を使うまでもなく正弦定理の逆(→補足1)から,
$\angle ARQ=\dfrac{\pi+B}{3}, \angle AQR=\dfrac{\pi+C}{3}$
他の角も同様に求めることができ(→補足2),
$\angle PQR=\angle QRP=\angle RPQ=\dfrac{\pi}{3}$ が分かる。

補足1:$\angle ARQ, \angle AQR$ を求めるためには,
$\angle ARQ+\angle AQR=\pi-\dfrac{A}{3}=\dfrac{2\pi+B+C}{3}$
及び,$\dfrac{AQ}{\sin\angle ARQ}=\dfrac{AR}{\sin\angle AQR}$
を解けばよいが,運のよいことに$(\dfrac{\pi+B}{3},\dfrac{\pi+C}{3})$ が解になっている。

補足2:
例えば,
$\angle QRP=2\pi-\angle ARB-\angle ARQ-\angle BRP\\
=2\pi-(\pi-\dfrac{A}{3}-\dfrac{B}{3})-(\dfrac{\pi+B}{3})-(\dfrac{\pi+A}{3})\\
=\dfrac{\pi}{3}$

フランクモーリーは最も美しくて実用性のない初等幾何の定理の1つです。

Tag: とにかく美しい数学公式まとめ

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