2016/03/17

ミケルの定理とミケル点

分野: 平面図形  レベル: マニアック

ミケルの定理

ミケルの定理:
3点 $ABC$ と直線 $BC$ 上の点 $D$,$CA$ 上の点 $E$,$AB$ 上の点 $F$ がある。この6点は全て異なるとする。
このとき,三つの円 $\Gamma(AEF)$,$\Gamma(BDF)$,$\Gamma(CDE)$ は一点で交わる。


ただし,$\Gamma(AEF)$ で三角形 $AEF$ の外接円を表すことにします。

ミケルの定理の証明

きちんと証明するのは場合分けがめんどうなので,$\Gamma(BDF)$ と $\Gamma(CDE)$ の交点 $P$ が三角形 $ABC$ の内部にある場合についてのみ証明します。

証明

$BDPF$ は同一円周上にあるので, $\angle DPF=180^{\circ}-\angle B$
$CDPE$ は同一円周上にあるので,$\angle DPE=180^{\circ}-\angle C$

よって,
$\angle FPE=360^{\circ}-\angle DPF-\angle DPE\\
=\angle B+\angle C\\
=180^{\circ}-\angle A$
となるので $AFPE$ も同一円周上にある。

※場合分け不要,全部まとめて証明できる! という方法をご存知の方はご一報下さい。

ミケル点

ミケル点

ミケル点:
図に登場する四つの三角形の外接円($\Gamma(ABC)$,$\Gamma(AFE)$,$\Gamma(DCE)$,$\Gamma(DBF)$)は一点 $M$ で交わる。これをミケル点と呼ぶ。

メネラウスの定理に登場する図形(完全四辺形)です。

「4本の(一般の位置にある)直線が与えられたとき,そのうち3本の直線を選ぶと定まる三角形が4つある。これらの外接円は一点で交わる」と言うこともできます。

ミケル点の存在証明

ミケルの定理を用いて証明してみます。

証明

三角形 $ABC$ に注目する。$D$ は直線 $BC$ 上,$E$ は直線 $CA$ 上,$F$ は直線 $AB$ 上にあるのでミケルの定理より,$\Gamma(AFE)$,$\Gamma(DCE)$,$\Gamma(DBF)$)は一点で交わる。

同様に(例えば三角形 $FDB$ に注目することで),$\Gamma(ABC)$ もこの点を通ることが分かる。

他にも方法はあります。考えてみてください!

そういえば昔「1枚,2枚,3マイケル」とかいう芸人がいましたね。
分野: 平面図形  レベル: マニアック