2014/05/01

三角形の面積を求める公式まとめ

分野: まとめ

三角形の面積にまつわる公式がたくさんあるので整理しました。ついでに四角形も。

三角形の面積にまつわる公式

ヘロンの公式
まずはおなじみ,三角形の三辺の長さから面積を求めるヘロンの公式。

外接円の半径と三角形の面積の関係
$S=\dfrac{abc}{4R}$ 公式。これもなかなか使い勝手が良い公式。応用としてオイラーの不等式を証明します。

内心と傍心の性質の比較
$S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)$ と似た公式が傍心に対しても成立します。公式というより考え方が重要。

正三角形の面積,正四面体の体積
正三角形の面積はもちろん,正四面体の体積も一瞬で求められるようにしておきましょう。

サラスの公式
座標平面,座標空間上での求積はサラスが強力。

ベクトルの定番問題の公式(面積比)
超頻出です。三角形の五心の座標を表すのに応用することも。

三角形の面積比にまつわる公式たち
中学数学チックな公式です。チェバの定理の証明に応用したり三次元に拡張したり。

複素数平面における三角形の面積
三角形の面積を求める公式の複素数平面バージョンです。

四角形の面積にまつわる公式

ブラーマグプタの公式とその証明
円に内接する四角形の面積をヘロンと同じノリで求める有名な公式です。

ブレートシュナイダーの公式
ブラーマグプタの公式の一般化です。これはあくまで観賞用かな、

三角形の面積が絡んだ公式,問題は美しいものが多いので僕は大好きです。
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