2016/11/20

マルバツゲームは引き分けになる

分野: その他  レベル: マニアック

マルバツゲーム(三目並べ)では両者が頑張れば必ず引き分けになる。

マルバツゲームのルール

二人で行うゲームです。3×3のマス目に,先攻は○,後攻は×を交互に書き込んでいき,先に縦or横or斜めに3つ揃えたら勝ち(ビンゴを作ったら勝ち)というシンプルなゲームです。
$\begin{array}{c|c|c}&&\:\:\:\\\hline &○&\\\hline &&\end{array}\to\begin{array}{c|c|c}×&&\:\:\\\hline &○&\\\hline &&\end{array}\to\cdots$

やってみれば分かりますが,多くの場合引き分けになります(どっちもビンゴを作ることができずに終わる)。ときどき先攻が勝つこともありますが,後攻が勝つことはまずありません。

マルバツゲームは引き分けになる

実は,先攻も後攻も頑張れば必ず引き分けになることが知られています。どちらにも必勝法はありません。

  • 先攻が負けないことは簡単に確認できます(最初に真ん中に打てば後攻がビンゴを作るのは絶望的ですね)。
  • 後攻も頑張れば引き分けに持ち込めます(後述)。

後攻が負けない戦略

後攻が負けない戦略を詳しく見ていきます。「基本的な考え方」は相手のビンゴを防ぎつつ,真ん中→角→辺の順に優先して置いていきます。ただし,例外が1つだけあります。

先攻を○,後攻を×で表します。

先攻が真ん中に打ってきた場合

$\begin{array}{c|c|c}×&&\\\hline &○&\\\hline &&\:\:\end{array}$
後攻は角に打ちます。次の先攻の手としては以下の4パターンありますが,それぞれ「基本的な考え方」に従えば引き分けに持ち込めます(証明略)。
$\begin{array}{c|c|c}×&○&\:\:\:\\\hline &○&\\\hline &&\end{array}\to\begin{array}{c|c|c}×&○&\:\:\\\hline &○&\\\hline &×&\end{array}$

$\begin{array}{c|c|c}×&&○\\\hline &○&\\\hline &&\end{array}\to\begin{array}{c|c|c}×&&○\\\hline &○&\\\hline ×&&\end{array}$

$\begin{array}{c|c|c}×&&\\\hline &○&○\\\hline &&\end{array}\to\begin{array}{c|c|c}×&&\\\hline ×&○&○\\\hline &&\end{array}$

$\begin{array}{c|c|c}×&&\\\hline &○&\\\hline &&○\end{array}\to\begin{array}{c|c|c}×&&×\\\hline &○&\\\hline &&○\end{array}$

注:最終手まで厳密に確認しようとすると膨大なスペースが必要になるので4手目までしか書いていません。5手目以降も気になる方はぜひ自力で確認してみてください。

先攻が角に打ってきた場合

$\begin{array}{c|c|c}○&&\\\hline &×&\\\hline &&\:\:\end{array}$
後攻は真ん中に打ちます。次の先攻の手として4パターンあります。そのうち3パターンは上記と同様に「基本的な考え方」に従って打てば引き分けに持ち込めます。先攻が右下に打ってきた場合だけ注意が必要です。
$\begin{array}{c|c|c}○&&\\\hline &×&\\\hline &&○\end{array}\to\begin{array}{c|c|c}○&&\\\hline &×&\\\hline &×&○\end{array}$
この場合,後攻は角よりも辺を優先して打つ必要があります。(角に打つと次の手で先攻にダブルリーチができてしまいます)

先攻が辺に打ってきた場合

$\begin{array}{c|c|c}&&\\\hline ○&×&\\\hline &&\:\:\end{array}$
後攻は真ん中に打ちます。先攻は次にどこに打ってもビンゴを作るのは厳しそうですね(同様に確認できます)。

きちんと確認するのは意外と大変でした。

Tag: 難しめの数学雑学・ネタまとめ

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