2014/04/25

マクローリン展開の応用例まとめ

分野: まとめ

マクローリン展開は教科書には載っていませんが,様々な分野で見通しを良くしてくれたり別解,検算手法を提供してくれます!

マクローリン展開とは

マクローリン展開
マクローリン展開は三角関数や指数関数の「多項式近似」です。

arctanのマクローリン展開の3通りの方法
マクローリン展開の例としてタンジェントの逆関数を展開してみます。

マクローリン展開の美しい応用例

攪乱順列の公式(A)
指数関数のマクローリン展開が有名な組み合わせの問題にまで登場しています。

log2に収束する交代級数の証明(A)
対数関数のマクローリン展開を知っていれば直感的に納得できる公式です。

マクローリン型不等式(三角関数)(B)
マクローリン展開は有限で打ち切ると近似なので不等式で威力を発揮します。

マクローリン型不等式(指数関数)(B)
有名な不等式の背景にはマクローリン展開

ネイピア数eが無理数であることの証明(B)
実は $\pi$ より簡単です。

三角関数の不定形極限を機械的な計算で求める方法(C)
マクローリン展開は極限の計算の検算に使えます。

数列の母関数とその応用例(D)
難しいですが最もエレガントな応用例です。

一般化二項定理とルートなどの近似(D)

マクローリン展開が応用できそうな場面

マクローリン展開は教科書に載っていないので記述式の試験で直接使うことは避けたほうがよいですが,知っているといろいろな分野の問題の背景が見えて見通しがよくなります。


マクローリン展開が応用できる代表的な場面です:
A:無限級数
マクローリン展開は関数を無限級数で表示する公式なのでそれを逆手に利用してやれば,無限級数を指数関数や対数関数などで表示することができる場合があります。

B:不等式評価
無限級数を途中で打ち切ったものは近似になります。近似ということは不等式がらみの問題で威力を発揮します。

C:極限
近似も極限を取れば等式になるので極限に関する話題でも有効です。

D:関数を無限級数展開
マクローリン展開の本来の使い方ですが,無限級数展開するためには $n$ 回微分係数を求める必要があるので応用できる場面が限られます。

マクローリン展開はいわゆる「裏技公式」の代表です。
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