ノルムの意味とL1，L2，L∞ノルム

$n$ 次元ベクトルは（この記事では）実数を $n$ 個並べたものだと考えて下さい。

高校数学で習う2次元ベクトル（平面ベクトル），3次元ベクトル（空間ベクトル）の一般化です。

ノルムとはいろいろなものの「大きさ」を表す量です。

$L^p$ ノルムは代表的なノルムです。実際， $\sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots +|x_n|^p}$ が上の3つの性質を満たすことが確認できます（3つ目については ミンコフスキーの不等式とその証明）。

補足：ノルムの非負性

• ノルムは非負です。つまり，任意の $x\in V$ に対して $\|\overrightarrow{x}\|\geqq 0$ です。
• 非負性は，ノルムの定義の3つの式から以下のように導出できます：
  $0=\left\|\dfrac{1}{2}\overrightarrow{x}+\left(-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{x}\right)\right\|\leqq\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{x}\|+\dfrac{1}{2}\|\overrightarrow{x}\|=\|\overrightarrow{x}\|$
• 非負性をノルムの定義に含めることもあります。

• $L^2$ ノルム： $\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$
  高校数学でも扱う「普通の意味での長さ」です。ユークリッドノルムとも言います。

• $L^1$ ノルム： $|x_1|+|x_2|+\cdots +|x_n|$
  各成分の絶対値の和です。 $L^1$ ノルムを「大きさ」として扱うと便利なこともけっこうあります→L1距離（マンハッタン距離）の意味と性質

$p$ が非常に大きい場合を考えてみます。$x_i\:(1\leqq i\leqq n)$ の中で最も絶対値が大きいものの１つを $x_k$ とします。すると $p$ が十分大きいとき，

$\sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots +|x_n|^p}\fallingdotseq |x_k|$

となります。

そこで，$L^{\infty}$ ノルムを，絶対値最大の成分の絶対値と定義します。無限大ノルム，supノルムなどとも言います。

二次元ベクトルに対して $\|\overrightarrow{x}\|_p=1$ であるような領域（単位円）を図示しました。

$p$ を $1$ から徐々に増やしていくにつれて単位円はふくらんでいきます。これは $n\geqq 3$ でも同様です。

ちなみに，$0< p < 1$ の場合にも $\sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+\cdots +|x_n|^p}$ を考えることはできますが，ノルムにはなりません（三角不等式を満たさない）。単位円はへこみます。