2015/08/15

片対数グラフ,両対数グラフの傾きの意味

分野: その他  レベル: マニアック

指数関数なら片対数グラフを,べき関数なら両対数グラフを使うことで直線になる。
また,直線の傾きを見ることで指数の底やべきが分かる。

普通の目盛と対数目盛

通常は二点間の距離がその二点の数値の差に比例するような目盛(普通の数直線)を使います。

対数目盛

一方,二点間の距離がその二点の数値の対数の差に比例するような目盛を対数目盛と言います。

なお,対数の底は何でも構いませんが(底の変換公式よりスケールが変化するだけ)今回は常用対数で説明します。この記事では $\log_{10} x$ を $\log x$ と書きます。

片対数グラフと両対数グラフ

以下,対数目盛を用いたグラフを考えます。
1. $x$ 軸が対数目盛,$y$ 軸が通常の目盛(あまり見ない)
2. $x$ 軸が通常の目盛,$y$ 軸が対数目盛
3. $x$ 軸,$y$ 軸ともに対数目盛

1,2が片対数グラフ(semi-log plot),3が両対数グラフ(log-log plot)です。

二点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ を結ぶ線分の傾きはそれぞれ以下の式で求めることができます。
1→ $\dfrac{y_1-y_2}{\log x_1-\log x_2}$
2→ $\dfrac{\log y_1-\log y_2}{x_1-x_2}$
3→ $\dfrac{\log y_1-\log y_2}{\log x_1-\log x_2}$

片対数グラフの傾きの意味

2($y$ 軸のみ対数目盛の片対数グラフ)について説明します。

指数関数 $y=Ca^x\:(C > 0,a > 0)$ は $y$ 軸のみ対数目盛の片対数グラフで直線になる。その指数の底 $a$ は直線の傾きを見れば分かる。

証明

片対数グラフで傾き $A$,切片 $B$ の直線になる
$\iff \log y=Ax+B$ という関係がある
$\iff y=10^{B}10^{Ax}$ という関係がある

ここで,$10^B=C,10^A=a$ とおくと,$y=Ca^x$ という関係式になる。

また,指数の底 $a$ と直線の傾き $A$ の間には $10^A=a$ という関係があるので傾きから指数の底が分かる。

両対数グラフの傾きの意味

続いて3(両対数グラフ)についてです。

べき関数 $y=Cx^a\:(C> 0)$ は両対数グラフで直線になる。そのべき $a$ は直線の傾きと一致する。

証明

両対数グラフで傾き $A$,切片 $B$ の直線になる
$\iff \log y=A\log x+B$ という関係がある
$\iff y=10^{B}x^A$ という関係がある

ここで,$10^B=C$ とおくと,$y=Cx^A$ という関係式になる。
直線の傾き $A$ はべきと一致している。

僕は物理の実験で対数グラフを書かされた記憶があります。
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