2014/07/20

常用対数の覚え方と検算への応用

分野: 指数・対数関数  レベル: 基本公式

$\log_{10} 2\simeq 0.3010$
$\log_{10} 3\simeq 0.4771$
$\log_{10} 7\simeq 0.8451$
$\log_{e} x\simeq 2.3\log_{10} x$

これらの値は覚えておくと便利です。

常用対数の覚え方

この記事では常用対数と自然対数が入り乱れるので対数の底を全て省略せずに表記します。

常用対数については以下の3つを覚えれば十分です。(もちろんこれらを知らなくても問題は解けますが,覚えておくと検算に便利です→後述。)

・ $\log_{10} 2\simeq 0.3010$
これは「おっさん多い」というのが有名ですが,$0$ が多くて比較的覚えやすいので自分の場合はそのまま丸覚えしました。

・ $\log_{10} 3\simeq 0.4771$
「死なない」で覚えましょう!

・ $\log_{10} 7\simeq 0.8451$
「はよこい」で覚えましょう!


上記の3つを組み合わせることで $\log_{10} n (n\leq 10)$ が全て求まります!対数計算のよい練習問題になるので一度は手を動かしてやってみましょう。

$\log_{10} 4=2\log_{10} 2\simeq 0.6020$
$\log_{10} 5=\log_{10} 10-\log_{10} 2\simeq 0.6990$
$\log_{10} 6=\log_{10} 2+\log_{10} 3\simeq 0.7781$
$\log_{10} 8=3\log_{10} 2\simeq 0.9030$
$\log_{10} 9=2\log_{10} 3\simeq 0.9542$

自然対数への変換

冒頭に述べた4つ目の公式は底の変換公式から導かれます:
$\log_e x=\dfrac{\log_{10} x}{\log_{10} e}\simeq 2.3\log_{10} x$

「自然対数は常用対数を $2.3$ 倍すれば近似値が求まる」と覚えておきましょう。この公式と先ほどの常用対数のおかげで,自然対数の値を求めることができます!

$\log_{e} 2\simeq 2.3\cdot 0.3010\simeq 0.7$

  • 実際に入試問題を解くときに自然対数の近似値を知っていると検算の際に非常に役立ちます(詳細は後述)
  • ならば自然対数を直接覚えればよいじゃないか,思うかもしれません。しかし,自然対数よりも常用対数の方が語呂で覚えやすいのと覚える数が少なくてすむので常用対数を覚えて $2.3$ 倍することをオススメしています。

検算への応用

近似値をしっていると対数が登場する多くの問題の検算に使えます。特に,定積分で面積を求める問題で威力を発揮する場合が多いです。定積分は計算ミスをしやすい分野ナンバーワンなので必ず検算をするべきなのです。

簡単な例:$y=\dfrac{1}{x}$ と $x=2, x=3$ 囲まれた部分の面積を求めよ。

解答

まず大雑把に答えを予想すると,面積は $\dfrac{1}{3}$ から $\dfrac{1}{2}$ の間。
実際定積分すると,$\displaystyle\int_2^3\dfrac{1}{x}dx=\log_{e} 3-\log_{e} 2$
この近似値を上記の方法で求めると,$2.3(0.4771-0.3010)\simeq 0.4$
となり,答えの予想と一致する。これで自信を持って次の問題に進める。

複雑な求積の問題では必ず面積を概算して,出てきた答えの近似値が概算と矛盾しないか確認しましょう,たいていはこの方法で計算ミスに気づくことができます。

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