2016/01/24

リウヴィル数の具体例と性質

分野: 整数問題  レベル: マニアック

以下を満たす実数 $r$ をリウヴィル数(リュービル数)と言う:
任意の正の整数 $n$ に対して,ある正の整数 $p,q\:(q\geq 2)$ が存在して
$0< \left|r-\dfrac{p}{q}\right| < \dfrac{1}{q^n}$ を満たす。

定義がやや複雑ですが「$r$ が有理数 $\dfrac{p}{q}$ でかなり精度よく近似できる」というイメージです。

リウヴィル数の例

小数第 $k!$ 位($k=1,2,\cdots$)のみが $0$ でない数はリウヴィル数である。

例えば,$0.110001000\cdots$ や,$0.120003000\cdots$ などです。
$0$ が大量に並ぶので,その前で打ち切ったものを $\dfrac{p}{q}$ とすれば,精度よく近似できるというイメージです。

証明

上記のような数は $1\leq a_k\leq 9$ なる $a_k$ を用いて $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{a_k}{10^{k!}}$ と書ける。

これを $k=n$ までで打ち切った有理数を $\dfrac{p}{q}$ とする。具体的には,
$q=\dfrac{1}{10^{n!}}$,$p=10^{n!}\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{a_k}{10^{k!}}$
とする。

すると,簡単な計算(→補足)により
$\left|r-\dfrac{p}{q}\right|=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{a_k}{10^{k!}}$
が $\dfrac{1}{q^n}$ 未満であることが分かる。

補足:
$\displaystyle\sum_{k=n+1}^{\infty}\dfrac{a_k}{10^{k!}}\leq \dfrac{9}{10^{(n+1)!}}+\dfrac{9}{10^{(n+2)!}}+\dfrac{9}{10^{(n+3)!}}+\cdots\\
< \dfrac{9}{10^{(n+1)!}}+\dfrac{9}{10^{(n+1)!+1}}+\dfrac{9}{10^{(n+1)!+2}}+\cdots\\
=\dfrac{9}{10^{(n+1)!}}\cdot \dfrac{1}{1-\frac{1}{10}}\\
=\dfrac{1}{10^{(n+1)!-1}}\\
\leq\dfrac{1}{10^{n!\cdot n}}$

無理数であることの証明

全てのリウヴィル数は超越数である。

超越数については超越数の意味といくつかの例をどうぞ。

リウヴィル数が超越数であることの証明は英語版Wikipediaを参照してください(なお,この記事は全体的に英語版Wikipediaを参考にしています)。

リウヴィル数が無理数であることの証明なら簡単なのでそちらをやります。

証明

$r=\dfrac{p_0}{q_0}$(ただし $p_0$ は整数 $q_0$ は正の整数)がリウヴィル数でないことを証明する。

$q_0\leq 2^{n-1}$ となるような十分大きい $n$ に対して,
$0< \left|r-\dfrac{p}{q}\right| < \dfrac{1}{q^n}$
となる $p,q$ が存在しないことを示せばよい。

実際,
$\left|r-\dfrac{p}{q}\right|=\dfrac{|p_0q-q_0p|}{q_0q}$
は $0$ であるか,または,$\dfrac{1}{q_0q}$ 以上である。
そして,$\dfrac{1}{q_0q}\geq \dfrac{1}{2^{n-1}q}\geq\dfrac{1}{q^n}$である。

リウヴィル数の例の「補足」の不等式評価が楽しかったです。
分野: 整数問題  レベル: マニアック