レビチビタ記号とその性質

更新 2021/03/07

$i,j,k$ はそれぞれ $1,2,3$ のいずれかとする。このとき，

$\varepsilon_{ijk}=\begin{cases}1&(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\-1&(i,j,k)=(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\\0&\mathrm{otherwise}\end{cases}$

となる $\varepsilon_{ijk}$ をレビチビタ記号（エディントンのイプシロン）という。

レビチビタ記号の性質とその証明について。

レビチビタの積の和の公式

$\displaystyle\sum_{j,k}\varepsilon_{ajk}\varepsilon_{bjk}=2\delta_{ab}$

$\displaystyle\sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijk}=6$

$\delta_{ab}=\begin{cases}1&a=b\\0&a\neq b\end{cases}$ はクロネッカーのデルタです。

1つ目の式の証明

$a=b=1$ のとき，左辺の和において $0$ でない項は，

$\varepsilon_{123}\varepsilon_{123}$ ， $\varepsilon_{132}\varepsilon_{132}$

の2つである。これらはいずれも $1$ なので左辺は $2$ となる。

$a=1,b=2$ のとき，左辺の全ての項が $0$ になる。他の場合も同様。

2つ目の式の証明

1つめの式で， $a=b=1$ としたもの， $a=b=2$ としたもの， $a=b=3$ としたものを加えればよい。

ベクトルの外積

$\overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)$ ， $\overrightarrow{b}=(b_1,b_2,b_3)$ に対して，その外積 $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ の第 $i$ 成分は， $\displaystyle\sum_{j,k}\varepsilon_{ijk}a_jb_k$

外積の定義：

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$

をコンパクトに表現できます。 →ベクトルの内積と外積の意味と嬉しさ

3×3の行列式

$\det\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} =\displaystyle\sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}a_{i1}a_{j2}a_{k3}=\sum_{i,j,k}\varepsilon_{ijk}a_{1i}a_{2j}a_{3k}$

これは，置換による行列式の定義（および $\det A=\det A^{\top}$ であること）から分かります。 →行列式の３つの定義と意味 →サラスの公式

レビチビタ記号を使えばコンパクトに表現できます。

添え字の数が3つの場合を紹介しましたが，添え字の数は一般の $n$ に拡張できます。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！