2014/02/06

正三角形の面積,正四面体の体積

分野: 空間図形  レベル: 基本公式

(i)1辺の長さが $a$ の正三角形の面積 $S$ は,
$S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

(ii)1辺の長さが $a$ の正四面体の体積 $V$ は,
$V=\dfrac{\sqrt{2}}{12}a^3$


記述式の場合途中経過を求められるので,この公式を用いることはできませんが,検算に用いることはできます。特に,(ii)はその場で計算しようとするとわりと時間がかかってしまうので,覚えておくべきです。

正四面体の体積は「底面積×高さ× $\dfrac{1}{3}$ 」を普通に計算すれば導出できますが,ここではサラスの公式を用いて(ii)のエレガントな導出を紹介します。

サラスの公式を用いた正四面体の体積の導出

正四面体はうまく座標空間にはめこむことができます。ちなみに,正二十面体も座標空間にはめこむことができます。
→正二十面体の対角線・体積を座標でエレガントに導出

正四面体の体積公式の導出

正四面体の体積

座標空間上に一辺 $2\sqrt{2}$ の正四面体 $ABCD$ を以下のように構成する:
$A(0,0,0)$,$B(2,2,0)$,$C(2,0,2)$,$D(0,2,2)$
原点を1つの頂点として座標軸に平行な一辺の長さが2の立方体をイメージすれば分かりやすいだろう(図参照)。

四面体 $ABCD$ の体積はサラスの公式より以下のように求まる。
$\dfrac{1}{6}|0-2^3-2^3|=\dfrac{8}{3}=\dfrac{\sqrt{2}}{12}(2\sqrt{2})^3$

ここで,正四面体の体積は1辺の長さ $a$ の3乗に比例するので,
$V=ca^3$ と書けることに注意すると,$c=\dfrac{\sqrt{2}}{12}$ となり(ii)を得る。

非常にお世話になる機会が多い公式の1つです

Tag: 三角形の面積を求める公式まとめ

分野: 空間図形  レベル: 基本公式