2016/01/06

複素数,虚数,純虚数,実数

分野: 複素数  レベル: 基本公式

複素数,虚数,純虚数の意味および関連する話題について。

複素数,虚数,純虚数

意味の違いをきちんと理解しましょう。

複素数,虚数,純虚数の違い

複素数
$a+bi$($a,b$ は実数)という数全体

虚数
$a+bi$($a,b$ は実数,$b\neq 0$)という数全体
複素数であって実数ではないもの
虚部が $0$ でない複素数
複素数平面において横軸上の点以外の点

純虚数
$bi$($b$ は実数,$b\neq 0$)という数全体
実部が $0$ である虚数
複素数平面において縦軸上の点(原点は除く)

注:純虚数に $0$ を含める場合もあります。ご注意下さい。

複素共役と実数,純虚数

以下 $a.b$ は実数とします。複素数 $z=a+bi$ に対してその共役複素数を $\overline{z}=a-bi$ で定めます。→共役複素数の覚えておくべき性質

複素数 $z$ について,
$z$ が実数 $\iff$ $z=\overline{z}$
$z$ が純虚数 $\iff$ $z=-\overline{z}$ かつ $z\neq 0$

特に1つめはよく使います。

証明

$z=a+bi$ が実数
$\iff$ $b=0$
$\iff$ $a+bi=a-bi$
$\iff$ $z=\overline{z}$

$z=a+bi$ が純虚数
$\iff$ $a=0$ かつ $b\neq 0$
$\iff$ $a+bi=-a+bi$ かつ $b\neq 0$
$\iff$ $z=-\overline{z}$ かつ $b\neq 0$

複素数平面と実数,純虚数

複素数平面上の相異なる4点 $A(\alpha)$,$B(\beta)$,$C(\gamma)$,$D(\delta)$ について,
$AB$ と $CD$ が平行 $\iff$ $\dfrac{\alpha-\beta}{\gamma-\delta}$ が実数
$AB$ と $CD$ が垂直 $\iff$ $\dfrac{\alpha-\beta}{\gamma-\delta}$ が純虚数

複素数平面の基本的な公式集でも紹介した公式です。

平行 $\iff$ 偏角の差が $0^{\circ}$(または $180^{\circ}$)
垂直 $\iff$ 偏角の差が $90^{\circ}$(または $270^{\circ}$)

であることから分かります。

虚数という言葉よりも複素数という言葉を使う機会の方が圧倒的に多い気がします。

Tag:数学2の教科書に載っている公式の解説一覧

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