三角形における距離の二乗の和の公式

$A(x_A,y_A)$，$B(x_B,y_B)$，$C(x_C,y_C)$ とおくと任意の点 $X(x, y)$ に対して，

$$\begin{aligned} &f(x,y)\\ &=XA^2+XB^2+XC^2\\ &=(x-x_A)^2+(x-x_B)^2+(x-x_C)^2\\ &\quad +(y-y_A)^2+(y-y_B)^2+(y-y_C)^2 \end{aligned}$$

となるので $X$ を動かしてこれを最小化する問題を考える。

$f(x, y)$ は $x$ の関数と $y$ の関数の和になっているのでそれぞれ最小化すればよい。

$x$ の部分だけ見ると二次関数なので簡単に最小化できる：

$$3x^2-2(x_A+x_B+x_C)x+x^2_A+x^2_B+x^2_C$$

これを最小化する $x$ は $x=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}$

となり重心の $x$ 座標と一致する。 $y$ 座標についても同様に証明できる。

$GA^2+GB^2+GC^2\\ =\overrightarrow{GA}\cdot (\overrightarrow{GX}+\overrightarrow{XA})+\overrightarrow{GB}\cdot(\overrightarrow{GX}+\overrightarrow{XB})+\overrightarrow{GC}\cdot(\overrightarrow{GX}+\overrightarrow{XC})\\ =\overrightarrow{GA}\cdot \overrightarrow{XA}+\overrightarrow{GB}\cdot \overrightarrow{XB}+\overrightarrow{GC}\cdot \overrightarrow{XC}\\ \leqq GA\cdot XA+GB\cdot XB+GC\cdot XC$

ただし，二行目から三行目への変形で $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ を用いた。最終行への変形はベクトルの内積の定義を用いた。

さらにシュワルツの不等式より，

上式の最右辺の二乗 $\leqq (GA^2+GB^2+GC^2)(XA^2+XB^2+XC^2)$

以上 $2$ つの不等式を合わせて目標の不等式を得る。

辺 $BC$ の中点を $M$ とおくと中線定理より，

$BX^2+CX^2=2(BM^2+MX^2)$

一方，スチュワートの定理より，

$AX^2\times GM+MX^2\times AG\\=AM(AG\times GM+GX^2)$

重心の性質より $AG:GM=2:1$ なので，

$AX^2+2MX^2=3(AG\times GM+GX^2)$

よって，$AX^2+BX^2+CX^2=3GX^2+2BM^2+3(AG\times GM)$

ここで右辺に注目すると $3GX^2$ 以外は定数（三角形 $ABC$ の形状のみで決まる）なので $GX=0$ のとき(すなわち $X$ が重心と一致するとき)二乗和が最小となることが分かる。

この記事の結果より，三角形を固定したとき，左辺は $X$ が $ABC$ の重心 $G$ と一致するときに最小となる。よって $X=G$ の場合のみ証明すればよい。

ここから，すべてを三角形の辺の長さ $a,b,c$ で表す方針で解く。

左辺は 三角形の五心と頂点までの距離 より $$AG^2+BG^2+CG^2=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$$

右辺は ヘロンの公式 の二乗のみで表すバージョンより $$\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)}$$

ここで，$x=a^4+b^4+c^4$，$y=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ とおくと、示すべき不等式は

$$\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{9}\geqq\dfrac{2y-x}{3}$$

$$\dfrac{x+2y}{9}\geqq\dfrac{2y-x}{3}$$

$$x+2y\geqq 6y-3x$$

$$x\geqq y$$

これは 有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+ca より成立する。

ちなみに $ABC$ が正三角形のとき $x=y$ となり等号成立。