京大入試数学の良問と背景知識まとめ

実数 $a,b\:(0\leq a,\:b <\dfrac{\pi}{4})$ に対して以下の不等式を証明せよ：

$\sqrt{\tan a\tan b}\leq \tan (\dfrac{a+b}{2})\leq\dfrac{1}{2}(\tan a+\tan b)$

$xyz$ 空間内の正八面体の頂点 $P_1,\cdots,P_6$ とベクトル $\overrightarrow{v}$ に対し，$k\neq m$ のとき $\overrightarrow{P_kP_m}\cdot\overrightarrow{v}\neq 0$ が成り立っているとする。このとき，$k$ と異なる全ての $m$ に対して $\overrightarrow{P_kP_m}\cdot\overrightarrow{v}< 0$

となるような $P_k$ が存在することを示せ。

$f(x)=(x^{100}+1)^{100}+(x^2+1)^{100}+1$ は $x^2+x+1$ で割り切れるか。

以下の極限を求めよ：

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k(\dfrac{k}{2n})^{100}$

$\tan 1^{\circ}$ は有理数か。

$r=2+\cos\theta\:(0\leq\theta\leq \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ。