コッホ曲線の次元，曲線の長さなど

コッホ曲線について証明すればよい。一回の操作で各線分の長さは $\dfrac{4}{3}$ 倍になるので，

$n$ ステップ後の曲線の長さは $\left(\dfrac{4}{3}\right)^n$

これは $n\to\infty$ とすると無限大に発散する。

一回の操作で一つの線分が4つの（長さが $\dfrac{1}{3}$ 倍の）線分になる。

よって，$n$ ステップ後の線分の本数は $3\cdot 4^n$ であり，各線分の長さは $\dfrac{1}{3^n}$ である。

よって，$n+1$ ステップ目で増える面積 $S_{n+1}$ は，一辺が $\dfrac{1}{3^{n+1}}$ である正三角形 $3\cdot 4^n$ 個ぶんである。つまり

$S_{n+1}=3\cdot 4^n\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot \left(\dfrac{1}{3^{n+1}}\right)^2\\ =\dfrac{\sqrt{3}}{12}\left(\dfrac{4}{9}\right)^n$

最初の正三角形の面積は $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ なので，コッホ雪片の面積は，

$\dfrac{\sqrt{3}}{4}+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}S_{n+1}\\ =\dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{\sqrt{3}}{12}\cdot \dfrac{1}{1-\frac{4}{9}}\\ =\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{8}{5}$

となりコッホ雪片の面積が求まった。