2015/10/03

行列の基本変形とrank,行列式の求め方

分野: 線形代数  レベル: 大学数学

行列の基本変形の意味とその応用(rank,行列式の求め方)について解説します。

行基本変形とは

以下の三つの操作を行基本変形と言います。

操作1:$i$ 行目と $j$ 行目を交換する
操作2:$i$ 行目を $c$ 倍する($c\neq 0$)
操作3:$j$ 行目の $c$ 倍を $i$ 行目に加える

行基本変形と正則行列

行基本変形は正則行列を左からかけることに対応しています。操作1から順に説明していきます。

操作1

単位行列の $i$ 行と $j$ 行を交換した行列 $P(i,j)$ を左からかけることに対応しています。
例えば,$P(2,3)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$ を $3\times 3$ の行列 $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$ に左からかけると $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}$ となり2行目と3行目が交換されました。
なお,$P(i,j)$ の行列式は $1$ なので正則です。

操作2

単位行列の $ii$ 成分を $c$ とした行列 $P(i;c)$ を左からかけることに対応しています。
例えば,$P(2;6)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&6&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$ に左からかけると $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\6a_{21}&6a_{22}&6a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$ となり2行目が $6$ 倍されました。
なお,$P(i;c)$ の行列式は $c$ なので正則です。

操作3

単位行列の $ij$ 成分を $c$ とした行列 $P(i,j;c)$ を左からかけることに対応しています。
例えば,$P(2,3;6)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&6\\0&0&1\end{pmatrix}$ を $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$ に左からかけると $\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}+6a_{31}&a_{22}+6a_{32}&a_{23}+6a_{33}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$ となり3行目の $6$ 倍が2行目に足されました。
なお,$P(i,j;c)$ の行列式は $1$ なので正則です。

行基本変形でrankを求める

行列の階段形

与えられた行列に対して行基本変形を繰り返すことで(つまり適当な正則行列を左からかけることで)図のような階段形にすることができます。

(正則行列をかけてもrankは変わらないので)この階段形の行列のrankはもとの行列のrankと一致します。そして階段形の行列のrankは一瞬で求まります($0$ でない成分がある行の数)。

行基本変形で行列式を求める

与えられた正方行列 $A$ に対して行基本変形を繰り返すことで(つまり適当な正則行列 $S$ を左からかけることで)階段形 $R$(上三角行列)にすることができます。

つまり,$SA=R$ です。
よって,$\det S\det A=\det R$ であり,

  • $\det R$ は対角成分の積で簡単に求まる
  • $\det S$ も変形の過程を見れば分かる(操作2の $c$ の積)

ので $\det A$ が求まります。

列基本変形とは

行の場合と同様に,以下の三つの操作を列基本変形と言います。

操作1:$i$ 列目と $j$ 列目を交換する
操作2:$i$ 列目を $c$ 倍する($c\neq 0$)
操作3:$j$ 列目の $c$ 倍を $i$ 列目に加える

列基本変形は正則行列を右からかけることに対応しています。(行基本変形の場合と同様に説明できます)

僕は4×4以上の行列式やrankを手計算で求めるのがいやなので計算機を使います。
分野: 線形代数  レベル: 大学数学