2015/09/07

常用対数を用いた桁数と最高位の数の計算

分野: 指数・対数関数  レベル: 入試対策

$\log_{10}N$ の整数部分から $N$ の桁数が求まる。小数部分から $N$ の最高位の数を計算することができる。

常用対数を用いて大きな数の桁数と最高位の数を計算する方法と例題2問を解説します。

桁数の求め方

$N$ が $n$ 桁の数
$\iff 10^{n-1} \leq N < 10^n$
$\iff n-1\leq \log_{10}N < n$

二行目は左側は等号つき不等号,左側は等号なし不等号です。二行目の各辺の常用対数を取ると三行目になります。

例題

$N=2^{30}$ の桁数を求めよ。ただし,$\log_{10}2=0.3010$ として計算せよ。

解答1:$N$ の常用対数を取ると,$\log_{10}2^{30}=30\log_{10}2=9.030$
よって,$9\leq \log_{10} 2^{30}< 10$ なので桁数の求め方の公式より $2^{30}$ は $10$ 桁の数である。

解答2:本筋からそれるが,$2^{30}$ くらいなら自力で計算できる。 $2^{10}=1024$ は多くの人が覚えているだろう。よって $1000^{3} < 2^{30} < 2000^{3}$ となる。 $1000^3$ と $2000^3$ は $10$ 桁の数なので $2^{30}$ も $10$ 桁の数。

注:$2^{10}=1024$ はぜひ覚えておきましょう。特に情報系の人が喜ぶキリのいい数字です。

最高位の数の求め方

$N$ が $n$ 桁の数で最高位の数が $a$
$\iff a\cdot 10^{n-1} \leq N < (a+1)\cdot 10^{n-1}$
$\iff n-1+\log_{10}a\leq \log_{10}N < n-1+\log_{10}(a+1)$

$\log_{10}N$ の整数部分が $n-1$ です。つまり,小数部分を見れば最高位の数が分かるというわけです。

例題

$N=2^{30}$ の最高位の数を求めよ。ただし,$\log_{10}2=0.3010$ として計算せよ。

解答1:さきほど計算したように,$\log_{10}2^{30}=9.030$
小数部分 $0.03$ は $\log_{10}1=0$ より大きく $\log_{10}2=0.3010$ より小さい。
つまり,$9+\log_{10}1\leq \log_{10}2^{30} < 9+\log_{10}2$
よって $10^{9}\leq 2^{30} < 2\cdot 10^9$
つまり最高位の数は $1$ である。

解答2:これくらいの計算は突破できる気合いが欲しい。
$2^{30}=1024^3=1073741824$ なので最高位の数は $1$

例題

例題2

$6^{200}$ の桁数と最高位の数を求めよ。ただし,$\log_{10}2=0.3010$,$\log_{10}3=0.4771$ として計算せよ。

さすがに $200$ 乗ともなると気合いで計算するのは厳しいですね。

解答

桁数

$\log_{10}6^{200}=200(\log_{10}2+\log_{10}3)=155.62$
よって,$155\leq \log_{10}6^{200}< 156$ より $10^{155}\leq 6^{200} < 10^{156}$
よって $6^{200}$ は $156$ 桁である。

最高位の数

$\log_{10}6^{200}$ の小数部分は $0.62$ である。
$\log_{10}4=2\log_{10}2=0.6020$
$\log_{10}5=1-\log_{10}2=0.6990$
より、 $155+\log_{10}4\leq \log_{10}6^{200}< 155+\log_{10}5$
よって,$4\cdot 10^{155}\leq 6^{200} <5\cdot 10^{155}$
つまり最高位の数は $4$ である。

注:ちなみに $6^{200}$ を実際に計算してみると,有効数字 $4$ 桁で $4.268\times 10^{155}$ となります。

小学生の頃,2のべき乗を休み時間の間ずっと($2^{50}$ くらいまで)計算して遊んだのを思い出します。
分野: 指数・対数関数  レベル: 入試対策