2015/09/18

90°+θ,180°+θなどの三角比の公式と覚え方

分野: 三角比・三角関数  レベル: 基本公式

三角関数の還元公式一覧およびその覚え方(導出方法)を解説します。

三角関数の還元公式

〜 $90^{\circ}-\theta$(余角)の公式〜
$\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta$
$\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta$
$\tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}$

〜 $90^{\circ}+\theta$ の公式〜
$\sin(90^{\circ}+\theta)=\cos\theta$
$\cos(90^{\circ}+\theta)=-\sin\theta$
$\tan(90^{\circ}+\theta)=-\dfrac{1}{\tan\theta}$

〜 $180^{\circ}-\theta$(捕角)の公式〜
$\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta$
$\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta$
$\tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan\theta$

〜 $180^{\circ}+\theta$ の公式〜
$\sin(180^{\circ}+\theta)=-\sin\theta$
$\cos(180^{\circ}+\theta)=-\cos\theta$
$\tan(180^{\circ}+\theta)=\tan\theta$

〜 $360^{\circ}+\theta$ の公式〜
$\sin(360^{\circ}+\theta)=\sin\theta$
$\cos(360^{\circ}+\theta)=\cos\theta$
$\tan(360^{\circ}+\theta)=\tan\theta$

〜$-\theta$(負角)の公式〜
$\sin(-\theta)=-\sin\theta$
$\cos(-\theta)=\cos\theta$
$\tan(-\theta)=-\tan\theta$

導出方法1

(負角の公式以外については)加法定理を使えば全て導けます。
追記:負角も$-\theta=0-\theta$ とみなせば加法定理で導けます。

例として $90^{\circ}+\theta$ の公式を導出します。

証明

$\sin(90^{\circ}+\theta)=\sin 90^{\circ}\cos\theta+\cos 90^{\circ}\sin\theta\\
=\cos\theta$

$\cos(90^{\circ}+\theta)=\cos 90^{\circ}\cos\theta-\sin 90^{\circ}\sin\theta\\
=-\sin\theta$

$\tan(90^{\circ}+\theta)=\dfrac{\sin(90^{\circ}+\theta)}{\cos(90^{\circ}+\theta)}\\
=\dfrac{\cos\theta}{-\sin\theta}\\
=-\dfrac{1}{\tan\theta}$

導出方法2

これは証明というより覚え方です。慣れたらかなり早く導出できます。

1.関数の形
$180^{\circ}$ の整数倍が絡むものは関数の形が変化しない
$90^{\circ}$ の奇数倍が絡むものは $\sin\iff \cos$,$\tan\iff\dfrac{1}{\tan}$ と変化する

2.符号
$\theta$ に鋭角を代入して符号を確認します。

$\sin (180^{\circ}+\theta)$
1.関数形は変化しない($\sin$ のまま)
2. $\theta$ に鋭角を入れると $\sin(180^{\circ}+\theta)$ は負なので符号はマイナス
つまり,$\sin(180^{\circ}+\theta)=-\sin\theta$

$\tan(90^{\circ}-\theta)$
1.関数形が $\dfrac{1}{\tan\theta}$ に変化する
2. $\theta$ に鋭角を入れると $\tan(90^{\circ}-\theta)$ は正なので符号はプラス
つまり,$\tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}$

導出方法2は僕が高校生のとき先生に教えてもらった方法です。

Tag: 数学2の教科書に載っている公式の解説一覧

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