開平法のやり方と原理

まず，手順1と手順2で $\sqrt{x}$ の上1桁を計算している。 $x$ の桁数が（小数点を基準にして）偶数なのか奇数なのかによって挙動が変わることに注意。

そして「 $\sqrt{x}$ はだいたい $a$ 」という下からの評価が得られる。

（上の例だと，$\sqrt{54321}$ はだいたい $200$ ，$\sqrt{2}$ はだいたい $1$ という評価）

しかし，本当は $\sqrt{x}=a+\varepsilon$ であるとする。 $\varepsilon$ を求めたい。

上式を変形すると，$x-a^2=\varepsilon(2a+\varepsilon)$

よって，$b(2a+b)$ が $x-a^2$ をこえないようなもの $b$ を使って，評価を「 $\sqrt{x}$ はだいたい $a+b$ 」と更新する（上の例だと，$\sqrt{54321}$ はだいたい $230$ ，$\sqrt{2}$ はだいたい $1.4$ という評価）。手順3，4における左側の数字が $b(2a+b)$ ，右側の数字が $x-a^2$ に対応している。

改めて，本当は $\sqrt{x}=a+b+\varepsilon$ であるとする。 $\varepsilon$ を求めたい。

上式を変形すると，$x-(a+b)^2=\varepsilon\{2(a+b)+\varepsilon\}$

よって，$c\{2(a+b)+c\}$ が $x-(a+b)^2$ をこえないようなもの $c$ を使って，評価を「 $\sqrt{x}$ はだいたい $a+b+c$ 」と更新する。

これを繰り返す。