2015/02/20

加法定理の証明(一般角に対する厳密な方法)

分野: 三角比・三角関数  レベル: 基本公式

三角関数の加法定理:任意の実数 $\alpha,\beta$ に対して
1. $\sin (\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
2. $\sin (\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
3. $\cos (\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
4. $\cos (\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
(さらに,$\alpha,\beta,\alpha\pm\beta$ の $\tan$ が存在するとき,)
5. $\tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
6. $\tan (\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$


加法定理の証明をなんとなく知っている人は多いですが,一般角に対してきちんと証明するのは(難しくはないが)相当めんどくさいです。そこで,きちんと証明を書いておきます。

東大でも出題された

1999年の東大の第一問(文理共通)で「一般角に対して三角関数の加法定理(1と3のみ)を証明せよ」という問題が出題され話題になりました。

加法定理を証明するには単位円を用いた三角関数の一般角における定義をきちんと理解している必要があります。→三角関数の3通りの定義とメリットデメリット

加法定理の証明で一番有名な方法です!

step1. まず余弦定理を使って一般角に対して4(コサインマイナス)を証明する
step2. 4を使って残りの5つを証明する

コサインマイナスの証明

余弦定理を用います。加法定理の証明の核心部分です。

証明

$A(\cos\alpha,\sin\alpha),B(\cos\beta,\sin\beta)$ とおくと
$AB^2=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2\\=2-2\cos\alpha\cos\beta-2\sin\alpha\sin\beta$

加法定理の証明

一方,$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角を $\theta$ とおくと,三角形 $OAB$ に余弦定理を用いて $AB^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cos \theta=2-2\cos\theta$

ここで,任意の $\alpha,\beta$ に対して $\cos\theta=\cos(\alpha-\beta)$ が成立する(重要な注)ので上の二式を比較して $\cos (\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$ を得る。

重要な注:$\theta$ は
「 $\alpha-\beta$ を $2\pi$ で割った余り」か「 $\beta-\alpha$ を $2\pi$ で割った余り」のうち $0$ から $\pi$ 以下のものである。
よって,$\cos\theta=\cos(\alpha-\beta)$ または $\cos\theta=\cos(\beta-\alpha)$
これと,$\cos(\beta-\alpha)=\cos(\alpha-\beta)$(→記事末尾の補助公式B)よりOK。

残り5つの証明

一般角に対してコサインマイナスが証明できてしまえば,あとは難しい発想は必要ありません。

補助公式
A. $\sin (-\theta)=-\sin\theta$,B. $\cos (-\theta)=\cos\theta$
C. $\sin (\theta\pm \dfrac{\pi}{2})=\pm\cos\theta$,D. $\cos (\theta\pm \dfrac{\pi}{2})=\mp\sin\theta$

補助公式はとりあえず認めて下さい!(最後に補足します)

3(コサインプラス):これはコサインマイナスで $\beta\to -\beta$ とするだけです:
$\cos (\alpha-(-\beta))=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)$
ここで,補助公式A,Bを使うと3を得る。

2(サインマイナス):コサインマイナスで位相をズラします:
例えば,$\beta\to \beta+\dfrac{\pi}{2}$ とします。
$\cos (\alpha-(\beta+\dfrac{\pi}{2}))=\cos\alpha\cos(\beta+\dfrac{\pi}{2})+\sin\alpha\sin(\beta+\dfrac{\pi}{2})$
ここで,補助公式C,Dを使うと
$\sin (\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
となり3を得る。

1(サインプラス):これはサインマイナスで $\beta\to -\beta$ とするだけです:
$\sin (\alpha-(-\beta))=\sin\alpha\cos(-\beta)-\cos\alpha\sin(-\beta)$
となり補助公式A,Bを使うと2を得る。

5(タンジェントプラス):1と3を使えばOKです:
$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\\
=\dfrac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\\
=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
ただし,最後の行は分母分子を $\cos\alpha\cos\beta$ で割った。

6(タンジェントマイナス):2と4を使います。5と全く同様にできます。

補助公式について

険しい道のりはまだ続きます。三角関数の定義から加法定理を厳密に証明するには補助公式A〜Dも一般角に対して証明しなければいけません(東大の問題はここまで要求しているのか分かりませんが)。

・AとBについては図を書けばすぐに分かります。つまり,$x$ 軸に関する折り返しで$(x,y)\to (x,-y)$ となるので $\cos(-\theta)=\cos\theta,\sin(-\theta)=\sin\theta$ となります。

・CとDをちゃんと証明するのはめんどくさいです。
「 $\frac{\pi}{2}$ 回転で$(x,y)\to (-y,x)$ になること」
「- $\frac{\pi}{2}$ 回転で$(x,y)\to (y,-x)$ になること」
を言えばOKです。

補助定理の証明

これを厳密に証明するには$(x,y)$ がどの象限にあるかで場合分けしてやる必要があります。きちんと書くのは本当にめんどくさい(教科書にも書いていないレベル)ので図と図の説明を添えれば十分でしょう。

図の説明

  • 青い点の一つを $\frac{\pi}{2}$ 回転させると別の青い点へ移る
  • 図の四つの直角三角形は相似&斜辺の長さが等しいので合同

よって,$(x,y)$ がどこにあっても $\frac{\pi}{2}$ 回転で$(-y,x)$ になり$-\frac{\pi}{2}$ 回転で$(y,-x)$ になることが確認できる。

加法定理の証明をきちんと書くのがこんなにも険しいとは!

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