2014/12/15

加比の理と傾きによる証明

分野: 式の計算  レベル: 入試対策

加比の理:
$\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$ のとき,$\dfrac{b}{a}=\dfrac{b+d}{a+c}=\dfrac{d}{c}$


比の扱いについての話題です。加比の理のいろいろなバージョン,傾きによる簡単な理解を解説します。

加比の理のいろいろなバージョン

とりあえず証明の前にいろいろなバージョンを紹介します。

・冒頭の公式は比の形で以下のように書かれることもあります:
$a:b=c:d$ のとき $a:b=a+c:b+d=c:d$

$2:3=6:9$ なので,$2:3=8:12=6:9$

・(定数倍バージョン)$\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$ のとき,$0$ でない任意の $p,q$ に対して $\dfrac{pb}{pa}=\dfrac{qd}{qc}$ なので,これに冒頭の公式を用いることで以下を得ます:
$\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$ のとき,$\dfrac{b}{a}=\dfrac{bp+dq}{ap+cq}=\dfrac{d}{c}$

・比の項数を $n$ 個にしたバージョンもあります。
$\dfrac{b_1}{a_1}=\dfrac{b_2}{a_2}=\cdots =\dfrac{b_n}{a_n}$ のとき,
$\dfrac{b_1+b_2+\cdots +b_n}{a_1+a_2+\cdots +a_n}$ もその値と等しい。

上記の公式たちは全て覚えてもよいですが「分数は直線の傾きに変換する」というテクニックを使えば全て簡単に理解・導出できます。

傾きによる証明

$\dfrac{b}{a}$ は $xy$ 平面において原点と$(a,b)$ を通る直線の傾きであるという事実を使うことで加比の理は図形的に理解することができます。

加比の理の導出

証明

$(a,b)$ と原点を通る直線の傾きと
$(c,d)$ と原点を通る直線の傾きが等しいとき,
その二本の直線は一致する。
そして,$(a+c,b+d)$ もその直線上にあることは図形的に分かる。よって,$\dfrac{b+d}{a+c}$ もその傾きと一致する。

このように傾きで考えることで他のバージョンも証明することができます。 $n$ 項の場合は帰納法でも証明できますが,傾きを考えれば一発です。

不等式バージョン

・加比の理には不等式バージョンもあります。
$\dfrac{b}{a} <\dfrac{d}{c}$ のとき $\dfrac{b}{a} <\dfrac{b+d}{a+c} <\dfrac{d}{c}$

・ $n$ 項の不等式バージョンもあります。

二項の場合の不等式バージョンを証明しておきます。

加比の理と傾き

証明

$(a+c,b+d)$,$(a,b)$,$(c,d)$,原点は平行四辺形をなす。
よって,赤の傾き <青の傾きとなるとき,
赤の傾き <緑の傾き <青の傾き
となることが図形的に分かる。


加比の理,傾きを使った考え方の応用としては

などがあります。

僕は不等式バージョンの方が好きです。
分野: 式の計算  レベル: 入試対策