加比の理と傾きによる証明

加比の理の例です。

加比の理の証明は簡単です。

$\dfrac{b}{a}$ は $xy$ 平面において原点と $(a,b)$ を通る直線の傾きであることを考えると加比の理は図形的に理解できます。

• 加比の理は以下のように書かれることもあります：
  $a:b=c:d$ のとき $a:b=c:d=a+c:b+d$

• 定数倍バージョン： $\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$ のとき，$0$ でない任意の $p,q$ に対して $\dfrac{pb}{pa}=\dfrac{qd}{qc}$ なので，これに冒頭の公式を用いると以下になります：
  $\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}$ のとき，$\dfrac{b}{a}=\dfrac{d}{c}=\dfrac{bp+dq}{ap+cq}$

• 比の項数を $n$ 個にしたバージョンもあります。
  $\dfrac{b_1}{a_1}=\dfrac{b_2}{a_2}=\cdots =\dfrac{b_n}{a_n}$ のとき，
  $\dfrac{b_1+b_2+\cdots +b_n}{a_1+a_2+\cdots +a_n}$ もその値と等しい。

加比の理のすべてのバージョンを覚える必要はありません。「分数は直線の傾きに変換する」というテクニックを使えば全て簡単に理解・導出できます。$n$ 個バージョンは帰納法でも証明できますが，傾きを考えれば一発です。

• 加比の理には不等式バージョンもあります。
  $\dfrac{b}{a} <\dfrac{d}{c}$ のとき $\dfrac{b}{a} <\dfrac{b+d}{a+c} <\dfrac{d}{c}$

• $n$ 項の不等式バージョンもあります。

二項の場合の不等式バージョンを証明しておきます。

加比の理，傾きを使った考え方の応用としては

• 第一余弦定理の証明 →第一余弦定理とその3通りの証明
• IMO2014問1

などがあります。