2015/03/25

条件付き確率の意味といろいろな例題

分野: データの分析,確率  レベル: 入試対策

条件付き確率の意味を理解するために,いろいろな例題(サイコロ,男の子か女の子か問題,病気の検査の問題)を解説します。

条件付き確率の定義と意味

・事象 $A$ が起きたと分かったもとでの事象 $B$ が起こる確率を条件付き確率と言い,$P(B\mid A),P_A(B)$ などと書きます。

条件付き確率の定義

・数式による定義は, $P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ です。ベン図を書くと理解しやすいです。

・全事象を $U$ とし,$A$ に属する場合の数を $|A|$ などと書くと $P(A)=\dfrac{|A|}{|U|},\:P(A\cap B)=\dfrac{|A\cap B|}{|U|}$ なので,
条件付き確率は $P(B \mid A)=\dfrac{|A\cap B|}{|A|}$ と書くこともできます。

※僕が条件付き確率を初めて学んだとき,定義は分かるけどだから何なの〜?って思いました。条件付き確率の意味,イメージをつかむには具体例が一番です!そこで,以下では3種類の例題を通じて条件付き確率の理解を目指します。

例題1:サイコロ

最初は恣意的で簡単な例ですが,条件付き確率の考え方を理解するのに役立ちます。

例題1

(平等な)サイコロを1つ振った。出目を見逃してしまったが,友人が出目は偶数だと教えてくれた。このとき出目が $4$ 以上であった確率を求めよ。

注:直感的にすぐ $\dfrac{2}{3}$ だと分かる人もいると思います。条件付き確率の定義に従ってきちんと答えてみます。

解答

$A$:出目が偶数(つまり出目が $2,4,6$)
$B$:出目が $4$ 以上(つまり出目が $4,5,6$)
とするとき,求める確率は $P(B\mid A)$ である。

サイコロの例

(方法1,確率を求めて比をとる)
$P(A)=\dfrac{1}{2},P(A\cap B)=\dfrac{2}{6}$ より,$P(B\mid A)=\dfrac{\frac{2}{6}}{\frac{1}{2}}=\dfrac{2}{3}$

(方法2,場合の数を求めて比をとる)
$|A|=3,|A\cap B|=2$ より $P(B\mid A)=\dfrac{2}{3}$

例題2:男の子か女の子か

有名な問題です。

例題2

ある夫婦には子供が二人いる。二人のうち少なくとも一人は男の子であるということが分かった。このとき,二人とも男の子である確率を求めよ。ただし,男の子が生まれる確率,女の子が生まれる確率はともに $\dfrac{1}{2}$ とする

解答

$A$:少なくとも一人は男の子
$B$:二人とも男の子
とすると,求める確率は $P(B\mid A)$

ここで,$P(A)=\dfrac{3}{4}$
(男男,男女,女男,女女のうち女女以外の確率)

$P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}$

よって,$P(B\mid A)=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\dfrac{1}{3}$ である。

注:問題文中の「少なくとも一人が男の子」を「年上の方が男の子」という表現に変えると答えは $\dfrac{1}{2}$ になります(年下が男の子である確率は $\dfrac{1}{2}$)。

例題3:陽性か陰性か

これまた非常に有名な話題です。

例題3

とある病気にかかっているか判定する検査について考える。この病気は $10$ 万人に一人が罹患している。「病気なのに陰性と判定してしまう確率」「病気でないのに陽性と判定してしまう確率」はともに $0.01$ であるとする。太郎さんが陽性と判定されたとき,本当に病気にかかっている確率を求めよ。

解答

$A$:太郎さんが陽性と判定される
$B$:太郎さんが病気に罹患している
とすると,求める確率は $P(B\mid A)$

ここで,$P(A)=0.00001\times 0.99+0.99999\times 0.01=0.0100098$
(病気かつ検査が正しい+病気でないかつ検査が間違う)

$P(A\cap B)=0.00001\times 0.99=0.0000099$

よって,$P(B\mid A)=\dfrac{0.0000099}{0.0100098}\simeq 0.001$

つまり,陽性と判断されても本当に病気である確率は $0.1$ %しかないのです!

追記:計算ミスをしていたので修正しました。

罹患率の低い病気について,一回の検査結果で陽性と判断するのは危険ということですね。

Tag: 数学Aの教科書に載っている公式の解説一覧

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