条件付き確率の意味といろいろな例題

• $A$ ：出目が偶数（つまり出目が $2,4,6$）

• $B$ ：出目が $4$ 以上（つまり出目が $4,5,6$）

とするとき，求める確率は $P(B\mid A)$ である。

• 方法1（確率を求めて比をとる）
  $P(A)=\dfrac{1}{2},P(A\cap B)=\dfrac{2}{6}$ より， $$P(B\mid A)=\dfrac{\frac{2}{6}}{\frac{1}{2}}=\dfrac{2}{3}$$

• 方法2（場合の数を求めて比をとる）
  $|A|=3,|A\cap B|=2$ より $$P(B\mid A)=\dfrac{2}{3}$$

• $A$ ：少なくとも一人は男の子
• $B$ ：二人とも男の子

とすると，求める確率は $P(B\mid A)$

ここで，

• $P(A)=\dfrac{3}{4}$
  （男男，男女，女男，女女のうち女女以外の確率）

• $P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}$

よって，$$P(B\mid A)=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\dfrac{1}{3}$$ である。

• $A$ ：太郎さんが陽性と判定される
• $B$ ：太郎さんが病気に罹患している

とすると，求める確率は $P(B\mid A)$

ここで，$P(A)$ は，以下の2つの和である。

• 「病気」かつ検査が正しく陽性になる確率：
  $$0.00001\times 0.99$$
• 「病気でない」かつ検査が間違えて陽性になる確率： $$0.99999\times 0.01$$

これを計算すると， $$P(A)=0.0100098$$ となる。一方， $$P(A\cap B)=0.00001\times 0.99=0.0000099$$

よって，$$P(B\mid A)=\dfrac{0.0000099}{0.0100098}\fallingdotseq 0.001$$

つまり，陽性と判断されても本当に病気である確率は $0.1$ ％しかないのです！