2015/08/01

二次関数の軸と頂点の求め方など

分野: いろんな関数  レベル: 基本公式

二次関数 $y=ax^2+bx+c$ において,
軸の方程式は $x=-\dfrac{b}{2a}$
頂点の座標は $\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{-b^2+4ac}{4a}\right)$

非常に基本的な公式です。この公式の導出,例題,および軸の方程式のいくつかの解釈(覚え方)を解説します。

軸の方程式,頂点の座標の導出

二次関数の軸,頂点は平方完成すれば求まります!

二次関数の軸と頂点

(導出)
$y=ax^2+bx+c$ を平方完成する:
$y=a\left(x^2+2\cdot\dfrac{b}{2a}x\right)+c$
$y=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+c$
$y=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{-b^2+4ac}{4a}$

よって,軸の方程式は $x=-\dfrac{b}{2a}$,頂点の座標は $\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{-b^2+4ac}{4a}\right)$ だと分かる。

例題

例題

二次関数 $y=2x^2+3x-1$ の軸の方程式と頂点の $y$ 座標を求めよ。

解答1(公式を丸暗記しておく方法):冒頭の公式より,

  • 軸の方程式は $x=-\dfrac{3}{2\cdot 2}$,つまり $x=-\dfrac{3}{4}$
  • 頂点の $y$ 座標は $\dfrac{-3^2+4\cdot 2\cdot (-1)}{4\cdot 2}=-\dfrac{17}{8}$

解答2(ちゃんと平方完成する方法):平方完成していくと,
$y=2\left(x^2+2\cdot\dfrac{3}{4}x\right)-1$
$y=2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}-1$
$y=2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2-\dfrac{17}{8}$
つまり軸の方程式は $x=-\dfrac{3}{4}$,頂点の $y$ 座標は$-\dfrac{17}{8}$

公式を覚えるべきか

  • 毎回平方完成すればよいだけなので,軸の方程式や頂点の座標の公式は覚えなくても問題はありません(平方完成の修得は必須です)。
  • ただし,二次関数の軸の方程式(頂点の $x$ 座標)が必要になる機会は非常に多いため,$-\dfrac{b}{2a}$ は覚えてしまうことをオススメします。
  • 頂点の $y$ 座標は(覚えなくても構いませんが)判別式を $D$ として$-\dfrac{D}{4a}$ と書けば覚えやすいです。

軸の方程式(頂点の $x$ 座標)の他の解釈

$x=-\dfrac{b}{2a}$ は平方完成すればすぐに導出できましたが,他の理解の方法もあります。

(微分による理解)
二次関数において,接線の傾きが $0$ となる点が頂点なので,その $x$ 座標は $y’=0$ の解として求まる。
$y’=2ax+b$ より $x=-\dfrac{b}{2a}$ と分かる。

(解の平均としての理解)
実数解を持つ場合にしか通用しない考え方だが,頂点の $x$ 座標は二次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解の平均である。この二次方程式の解の和は解と係数の関係より$-\dfrac{b}{a}$ であるので,これを $2$ で割れば頂点の $x$ 座標が求まる。

たとえ簡単であったとしても,高校数学の教科書に載っている公式は網羅したいです。

Tag: 数学1の教科書に載っている公式の解説一覧

分野: いろんな関数  レベル: 基本公式