2015/07/11

タンジェントとそのn乗の不定積分

分野: 積分  レベル: 入試対策

$\displaystyle\int \tan xdx=-\log |\cos x|+C$
$\displaystyle\int \tan^2 xdx=\tan x-x+C$
$\displaystyle\int \tan^n xdx=\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-\int\tan^{n-2}xdx$

$\tan x,\tan^2x,\tan^n x$ の不定積分についてそれぞれ解説します。いずれもタンジェント特有の技を使います。なお,$C$ は積分定数です。

タンジェントの積分

$\displaystyle\int \tan xdx\\
=\displaystyle\int \dfrac{\sin x}{\cos x}dx\\
=\displaystyle\int -\dfrac{(\cos x)’}{\cos x}dx\\
=-\log|\cos x|+C$

ただし,最終行で $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ の積分が $\log |f(x)|$ になるという重要公式を使いました。この公式は $\{\log |f(x)|\}’=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ から分かりますが,教科書などでは置換積分の特殊系と説明されることが多いです。

タンジェントの二乗の積分

$\displaystyle\int \tan^2xdx\\
=\displaystyle\int \left(\dfrac{1}{\cos^2x}-1\right)dx\\
=\tan x-x+C$

最初の変形では三角関数の公式:$1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$ を用いました。最終行への変形では$(\tan x)’=\dfrac{1}{\cos^2x}$ を用いました。

タンジェントのn乗の積分(漸化式)

n乗の積分は部分積分で漸化式を作るのが定石です。→sinのn乗,cosのn乗の積分公式

しかし,$\tan^nx$ の場合,部分積分ではうまくいきません($\tan$ を積分すると$-\log |\cos|$,$\tan^2x$ を積分すると$-x$ という余計なものが出てきてしまう)。そこで,$\tan^2x$ の積分でも活躍した公式を使って変形していきます。

$\displaystyle\int\tan^nxdx\\
=\displaystyle\int\left(\dfrac{1}{\cos^2x}-1\right)\tan^{n-2}xdx\\
=\displaystyle\int\dfrac{\tan^{n-2}x}{\cos^2x}dx-\int\tan^{n-2}xdx$

ここで,$(\tan x)’=\dfrac{1}{\cos^2x}$ に注意すると第一項は
$\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x$ と計算できる。

つまり,$\displaystyle\int \tan^n xdx=\dfrac{1}{n-1}\tan^{n-1}x-\int\tan^{n-2}xdx$

明示的に書く

$\tan^nx$ の積分と $\tan^{n-2}x$ の積分の関係が導けたので,これを繰り返し使うことで $\tan^nx$ の不定積分を明示的に書くことができます。

・ $n$ が奇数$(2k+1)$ のとき,
$\displaystyle\int \tan^{2k+1}xdx\\
=\dfrac{1}{2k}\tan^{2k}x-\int \tan^{2k-1}xdx\\
=\cdots\\
=\displaystyle\sum_{t=0}^{k-1}(-1)^t\dfrac{\tan^{2(k-t)}x}{2(k-t)}+(-1)^k\int\tan xdx$
$=\displaystyle\sum_{t=1}^{k}(-1)^{k-t}\dfrac{\tan^{2t}x}{2t}+(-1)^{k+1}\log|\cos x|+C$

・ $n$ が偶数$(2k)$ のとき,
$\displaystyle\int\tan^{2k}dx\\
=\dfrac{1}{2k-1}\tan^{2k-1}x-\int \tan^{2k-2}xdx\\
=\cdots\\
=\displaystyle\sum_{t=0}^{k-1}(-1)^t\dfrac{\tan^{2(k-t)-1}x}{2(k-t)-1}+(-1)^{k}\int 1dx$
$=\displaystyle\sum_{t=1}^k(-1)^{k-t}\dfrac{\tan^{2t-1}x}{2t-1}+(-1)^kx+C$

奇数側の末尾には $\log|\cos x|$,偶数側の末尾には $x$ がつくのが面白いです。

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