2014/05/01

因数分解の発展的な公式・応用例まとめ

分野: まとめ

発展公式,応用例,基本公式の三本立てでお送りします!発展公式,応用例がよく分からない人はまずは基本公式を確認してみてください。

因数分解の発展公式

因数分解公式(3つの立方和)
3変数の相加相乗平均の証明などに用いる有名公式です。

因数分解公式(n乗の差、和)
等比数列の和にまつわる因数分解公式です。整数問題に応用されます。

因数分解公式(ソフィージェルマンの恒等式)
こちらも数学オリンピックの整数問題などに応用されます。かなり発展的な公式。

交代式の因数分解と実践的な例題
因数定理を用いることで交代式を分解します。

四次式の因数分解の5パターン
四次以上の場合は因数定理が使えないパターンもあります。

アイゼンシュタインの定理
因数分解できないことを証明する定理です。

因数分解の応用例

相反方程式とその解き方
奇数次の相反方程式を解くときには因数定理を用います。

シュタイナーレームスの定理
途中でかなりゴツイ因数分解が出現しますが,因数定理を用いて難なくこなしましょう。

ブラーマグプタの公式とその証明
ヘロンの公式やブラーマグプタの公式を証明する途中で4次式を因数分解する必要が出てきます。

因数分解の基本公式

サクッと確認してみてください!
$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\\
acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)\\
x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\\
x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\\
x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=(x+y)^3\\
x^3-3x^2y+3xy^2-y^3=(x-y)^3\\
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\\
x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\\
x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=(x+y+z)^2$

素因数分解と因数分解を混同したり書き間違えてる人が意外に多いのが残念です。
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