2014/03/04

有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caのいろいろな証明

分野: 不等式  レベル: 最難関大学

次の不等式は有名で応用上重要なので頭の引き出しに入れておきたいところです:

任意の実数 $a, b, c$ に対して,
$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$
等号成立条件は,$a=b=c$


このページではこの有名不等式のいろいろな証明を紹介します。1つの不等式でもいろいろな証明方法があることを味わいつつ,不等式の証明手法に慣れましょう。(各不等式の証明中で等号成立条件についての言及は省略していますが,解答では等号成立条件を述べた方がよいです)

両辺の差を取って直接示す方法

方針:最も原始的な不等式の証明方法は,両辺の差を変形して0より大きい(または小さい)ことを示す方法です。証明1はカッコイイし定番なので是非覚えたいところですが,証明2で見るように,2次式の場合は愚直に1文字ずつ平方完成していけば必ず機械的に証明できます。

証明1

両辺の差を取って $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq 0$ を示せばよいが,
(左辺)= $\dfrac{1}{2}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}$  と平方の和に変形できるので題意は示された。

証明2

両辺の差を $a$ の2次式と見て平方完成する:
$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\\
=\{a-(\dfrac{b+c}{2})\}^2+\dfrac{3}{4}b^2+\dfrac{3}{4}c^2-\dfrac{3}{2}bc$
残りの部分を $b$ の2次式と見て平方完成する:
$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\\
=\{a-(\dfrac{b+c}{2})\}^2+\dfrac{3}{4}(b-c)^2$
平方の和に変形できるので題意は示された。

相加相乗平均の不等式を用いて示す方法

方針:3変数の対称的な不等式は3つに分解して示すことができる場合が多いです。

証明3

相加相乗平均の不等式より,$a^2+b^2\geq 2ab$
同様に,$b^2+c^2\geq 2bc$, $c^2+a^2\geq 2ac$
以上3つの不等式を辺々加えて2で割ると求める不等式を得る。

シュワルツの不等式を用いて示す方法

証明4

シュワルツの不等式より,$(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2)\geq(ab+bc+ca)^2$
両辺の平方根を取ればよい。

ムーアヘッドの不等式を用いて示す方法

ムーアヘッドの不等式というマニアックな不等式を知っている人はどうぞ。この有名不等式はムーアヘッドの不等式の非常に簡単な例になっています。

証明5

$[2,0,0]\geq[1,1,0]$ なので,ムーアヘッドの不等式から $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$

2次形式を用いる方法

大学1年で習う行列の知識を使います。

証明6

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\\
=(a, b, c)\begin{pmatrix}1 & -1/2&-1/2\\-1/2& 1&-1/2\\-1/2&-1/2&1\end{pmatrix}\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)$
$=(a, b, c)A\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$
となるが,簡単な計算によりAの小行列式は $1,\dfrac{3}{4}, 0$ のいずれかとなり,全て非負なのでAは半正定値行列である。よって題意の不等式は示された。

素直に機械的に証明するのも楽し,シュワルツでカッコつけるのもまた楽し,ですね!

Tag: 有名な定理を複数の方法で証明

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