2015/04/02

陰関数と陽関数の意味と違いについて

分野: いろんな関数  レベル: 入試対策

陽関数と陰関数の定義:
陽関数:$y=f(x)$ といういつもの形で表した関数
陰関数:$F(x,y)=0$ という形で表現した関係

陰関数と陽関数の例

まずは具体例から。

例1

$y=x^2$ という陽関数は $y-x^2=0$ という陰関数表示を持つ。

例2

$x^2+y^2-1=0$(円)は陰関数である。陽関数で表すためには,$y=\pm \sqrt{1-x^2}$ という二つの関数が必要になる。

例3

$y^3+y^2+xy+x^3-3=0$ という陰関数について,これを陽関数の形で表すのはとても大変(あまりにも複雑な形になるので現実的でない)。

陰関数は関数とは限らない

「 $x$ の値を一つ決めると $y$ の値も決まる」というのが関数の定義なので,陰関数は厳密には関数とは限りません。以下のようにいろいろな場合があります。

・一つの陰関数が複数の関数を表すこともあります(例2など)。

・陰関数が点を表すこともあります(次元が2落ちる)。

$x^2+y^2=0$ という陰関数は$(0,0)$ のみを表す。

・陰関数が二次元の領域を表すこともあります(次元が落ちない)。

$u(x)-u(y)=0$ という陰関数は第一象限と第三象限(境界を一部含む)を表す。

ただし,$u(x)$ はステップ関数というもので,$x\geq 0$ のとき $1$,$x <0$ のとき $0$ を返します。

陰関数のメリット:表現力

  • 例1からも分かるように,陽関数 $y=f(x)$ は移項して $y-f(x)=0$ という形にすれば陰関数の形で書くことができます。つまり,陽関数として書ける→陰関数としても書けると言えます。
  • 例3から分かるように,陰関数を陽関数の形で具体的に書き表すのは必ずしも可能とは限りません(というより不可能なことが多い)。

以上より,陰関数の方が陽関数よりも表現力が高いと言うことができます。陰関数の形でしか表せない関数の中にも重要なものはたくさんあるので,陰関数を考える意味があるのです。

また,例2で見たように円は陽関数で表すこともできますが,陰関数表示の方が美しく,図形の意味が伝わりやすいです。

陽関数のメリット:積分

$y=f(x)$ の形で書ければその微分や積分は比較的簡単に計算できます。一方,陰関数表示された関数で囲まれた部分の面積を直接求めるのは難しいです。

例2(再掲):円周 $x^2+y^2-1=0$ で囲まれた部分の面積を求めたい。
陰関数表示のままでは計算できないが,陽関数 $y=\pm\sqrt{1-x^2}$ という形で書いてしまえば積分できる。

※ただの円なので,本当は積分とかいらないですが,積分計算したいときには陽関数に直したい,というイメージは伝わると思います。

※なお,微分に関しては陰関数でもOKです。「陰関数の微分公式」を使えば微分係数の計算は難しくありません。

結論:陽関数の形がよいのか,陰関数の形がよいのかは扱う対象や状況によって変わる。
分野: いろんな関数  レベル: 入試対策