2015/05/02

各点収束と一様収束の違いと具体例

分野: 解析  レベル: 大学数学

関数列の収束には「各点収束」と「一様収束」という二つの概念があり,一様収束の方が強い。

関数列の収束

数列や関数の極限は高校数学で扱いますが,今回は関数列の収束を考えます。関数が $f_1(x),f_2(x),\cdots$ のようにたくさんある状況をイメージしてください。

一様収束の例

例えば,関数列として $f_n(x)=\dfrac{x}{n}\:(0\leq x\leq 1)$ としてみます。
$f_1(x)=x$,$f_{2}(x)=\dfrac{x}{2}$,$f_{3}(x)=\dfrac{x}{3},\cdots$ というように $n$ が増えると $0$ という関数に近づいていくことが分かります。

この「関数として近づく」というのを数学的に定義しようとしたときに,二種類の収束の概念が登場します。

各点収束の定義と具体例

定義:区間内の任意の点 $a$ に対して,$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(a)=f(a)$ が成立するとき,関数列 $f_n(x)$ は $f(x)$ に各点収束すると言う。

$x$ の値を $a$ に固定すれば,$f_1(a),f_2(a),\cdots$ は数列として扱えます。その数列が $f(a)$ に収束するのが各点収束です。まさに各点(について)収束という感じです。

例題1

$f_n(x)=x^n\:(0\leq x\leq 1)$ が
$f(x) = \begin{cases}
0 & (0\leq x <1) \\
1 & (x=1)
\end{cases}$
に各点収束することを確認せよ。

各点収束する例

解答

$x=a$ と固定して数列 $f_n(a)$ を考えると,
$0\leq a <1$ のとき $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(a)=0$,
$a=1$ のとき $\displaystyle\lim_{n\to\infty}f_n(a)=1$
となるので $f_n(x)$ は $f(x)$ に各点収束する。

一様収束の定義と具体例

定義:$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sup_x |f_n(x)-f(x)|=0$ のとき,関数列 $f_n(x)$ は $f(x)$ に一様収束すると言う。

全体が一様に(一気に)収束するというイメージです。
$\displaystyle\sup_x|f_n(x)-f(x)|$ は,$f_n(x)$ と $f(x)$ がどれくらい離れているかを「一番離れているところで測った値」です。

例題2

先ほどの例題において $f_n(x)=x^n\:(0\leq x\leq 1)$ が $f(x)$ に一様収束しないことを確認せよ。

解答

$\displaystyle\sup_x|f_n(x)-f(x)|$ が $0$ に収束しないことを証明すればよい。実際,$x=2^{-\frac{1}{n}}$ に対して $|f_n(x)-f(x)|=\dfrac{1}{2}$ となるので,任意の $n$ に対して $\displaystyle\sup_x|f_n(x)-f(x)|\geq \dfrac{1}{2}$ である。つまり,一様収束しない。

コメント:$x=1$ 付近のせいで,$f_n(x)$ が $f(x)$ に一気に近づくことはないというイメージです。


例題3

$0\leq x\leq 1$ において関数列 $f_n(x)=\dfrac{x}{n}$ が $f(x)=0$ に一様収束することを確認せよ。

解答

$|f_n(x)-f(x)|=\dfrac{x}{n}\leq \dfrac{1}{n}$ より,$f_n(x)$ と $f(x)$ の距離(一番離れている所)は $\dfrac{1}{n}$ である。よって,$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sup_x |f_n(x)-f(x)|=0$ となり一様収束することが分かる。

一様収束は各点収束より強い

A.一様収束すれば各点収束する
B.各点収束しても一様収束するとは限らない

関数として一気に近づけば当然各点で見ても近づいていくことから,Aは理解できるでしょう。
Bについては例題1,2の関数が例になっています。

一様収束の嬉しさ

一様収束が嬉しいのは以下の定理が成り立つからです!

定理:連続関数列の一様収束極限は連続関数

連続関数列の収束先が連続でないと悲しいです(例えば例題1)が,一様収束という強い意味で収束してくれれば,収束先も連続なのでハッピーという主張です。

注:「一様収束」は「一様連続」と混同しやすいので注意して下さい。→関数の連続性と一様連続性

ゴールデンウィークだからといって外出する必要はありません。家でのんびり数学するのも一興。
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