超幾何分布の意味と期待値の計算

当たりが $x$ 個入っている確率 $f_{N,A,n}(x)$ を計算したい。

まず，全ての選び方の数は，${}_N\mathrm{C}_n$ 通り。

このうち，当たりが $x$ 個（つまりハズレが $n-x$ 個）である選び方の数を計算したい。

そもそも，当たりの数とハズレの数の制約から，

$0\leq x\leq A$ かつ $0\leq n-x\leq N-A$

の場合にのみ，そのような選び方が存在する。この条件を変形すると，

$\max\{0,n-N+A\}\leq x\leq \min\{A,n\}$

となる。そして，この条件を満たすときに，当たりが $x$ 個となる選び方は，

${}_A\mathrm{C}_x\cdot {}_{N-A}\mathrm{C}_{n-x}$

通り。よって，超幾何分布の確率質量関数は，

$f_{N,A,n}(x)=\dfrac{{}_A\mathrm{C}_x\cdot{}_{N-A}\mathrm{C}_{n-x}}{{}_N\mathrm{C}_n}$

超幾何分布の問題設定における抽出について
「$i$ 個目に選んだものが当たりなら $1$，ハズレなら $0$ となる確率変数」を $X_i$ とする。

このとき，超幾何分布の期待値は，
$E[X_1+X_2+\cdots +X_n]$

各 $X_i$ は互いに独立ではないが，そのような場合でも和の期待値は期待値の和に分解できるので，上式は

$E[X_1]+E[X_2]+\cdots +E[X_n]$

となる。 して，$i=1,2,\cdots,n$ に対して，$E[X_i]=\dfrac{A}{N}$ なので，求める期待値は $\dfrac{nA}{N}$

期待値は，定義より，

$\displaystyle\sum_{x\in X}xf_{N,A,n}(x)\\ =\displaystyle\sum_{x\in X}\dfrac{x\cdot{}_A\mathrm{C}_x\cdot{}_{N-A}\mathrm{C}_{n-x}}{{}_N\mathrm{C}_n}$

ただし，和を取る範囲 $X$ は，$\max\{0,n-N+A\}\leq x\leq \min\{A,n\}$ を満たす整数 $x$ 全体の集合。ここで，$x=0$ の部分は和に寄与しないので，

$\displaystyle\sum_{x\in X'}\dfrac{x\cdot{}_A\mathrm{C}_x\cdot{}_{N-A}\mathrm{C}_{n-x}}{{}_N\mathrm{C}_n}$

ただし，$X'$ は $\max\{1,n-N+A\}\leq x\leq \min\{A,n\}$ を満たす整数 $x$ 全体の集合，としても値は同じ。

これを上記の二項係数の公式を使って変形すると，

$\dfrac{nA}{N}\displaystyle\sum_{x\in X'}\dfrac{{}_{A-1}\mathrm{C}_{x-1}\cdot{}_{N-A}\mathrm{C}_{n-x}}{{}_{N-1}\mathrm{C}_{n-1}}$

となる。$1$ 平行移動すると，

$\dfrac{nA}{N}\displaystyle\sum_{x-1\in Y}\dfrac{{}_{A-1}\mathrm{C}_{x-1}\cdot{}_{(N-1)-(A-1)}\mathrm{C}_{(n-1)-(x-1)}}{{}_{N-1}\mathrm{C}_{n-1}}$

となります。ただし，$Y$ は

$\max\{0,(n-1)-(N-1)+(A-1)\}\leq y\\ \leq \min\{A-1,n-1\}$

を満たす整数 $y$ 全体の集合（$X'$ を定める不等式の各辺から $1$ を引いた）。

上式のシグマの中身は，パラメータが $(N-1,A-1,n-1)$ である超幾何分布の確率質量関数である。和を取る範囲も，パラメータが $(N-1,A-1,n-1)$ である超幾何分布のものと対応している。そのため，和を取ると $1$ になる。

結局残るのは $\dfrac{nA}{N}$