不定方程式の難問

すぐに方針が立つような定番のパターンならよいのですが，数学オリンピックや超難関大学で出題される不定方程式はなかなか方針が思い浮かびません。

そこで，そのような問題に対しては必ず以下の2つを試しましょう。5分程度でできます。

基本方針1：$\bmod{2},\bmod{3}$ で考えた時に情報が得られないか確認する

基本方針2：数が小さい場合について実験する

$2^a+3^b+1=6^c$

基本方針1：

• $2$ で割った余り
  →左辺も右辺も偶数になるので絞れません。
• $3$ で割った余り
  →$2^a+1$ が $3$ の倍数になることから $a$ が奇数です。一歩前進です（この情報が有用かどうかはこの段階では分かりません）。

基本方針2：

• $c=1,2,3,4$ のとき具体的に解を探してみます。しらみつぶしに調べると，以下の解を発見できます：
  $(a,b,c)=(1,1,1), (3,3,2), (5,1,2)$
  $c=3,4$ のときに解が発見できないことから $c\geq 3$ のときには解がないのかも，と予想できます。
• では $c\geq 3$ のとき解がないことを示すにはどうすればよいか？
  解がないことを示すには，不等式でおさえる or 何かで割ったあまりを考えることでほとんど解決します。しかし$\bmod{2},\bmod{3}$ では大した情報は得られませんでした。 そこで，もう少し大きめの $n$ に対して$\bmod{n}$ を考えてみよう！と思います。すると$\bmod{8}$ でうまくいくことが分かります。

$8$ で割った余りに着目できればあとは簡単です。

今回の問題で得られた教訓です：

実際，不定方程式の難問はこのパターンが多いです。時間がたっぷりとれる問題なら$\bmod{2}$ から$\bmod{11}$ くらいまで全て調べて情報を取り出すとよいでしょう。

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