2014/04/25

有名な定理を複数の方法で証明

分野: まとめ

全ての記事で1つの公式・定理に対して3通り以上の証明方法を紹介しています!

有名な定理のいろいろな証明

チェバの定理の3通りの証明
図形の問題の多くは気合いと計算で証明できるし,図形的な考察でエレガントに証明することもできます。

中線定理の3通りの証明
同じく,解析幾何と初等幾何の比較にどうぞ。

三角形のフェルマー点の3通りの証明
東大の入試問題のテーマにもなったフェルマー点について。

オイラー線の3通りの証明
図形問題は別解は豊富です。

イェンゼンの不等式の3通りの証明
凸関数の不等式です。代数的な定理も座標と図形的性質を利用して別解を生み出せることがあります。

平面の方程式とその3通りの求め方
愚直に求める方法だけでなく,ベクトルの外積も紹介。

有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caのいろいろな証明
この不等式は絶対に覚えておきましょう。おすすめ!

Nesbittの不等式の6通りの証明
6通り(^O^)

点と直線の距離公式の3通りの証明
他では見れないレアな証明方法も。

別解を考えよう

複数の証明方法を比較することで,

1:その定理に対する理解が深まる
2:証明方法を比較することでいろいろな道具のメリットデメリットが痛感できる

という嬉しさがあります。以下では2に対してもう少し詳しく説明します。

図形の問題に関しては「解析幾何」VS「初等幾何」という構図が多いです。より一般的には「エレガントだけど発想力がいる方法」VS「愚直だけど簡単に思いつく方法」という構図が多いようです。
どちらかで解けてももう一方で解けないか考えて,もし解けないなら何が障害になっているのか考えることでその証明方法の限界や適用範囲を知ることができます。(例えば解析幾何は角度が苦手)

というわけでこのサイトでは有名な定理に対しても教科書に載っている証明方法以外の方法もできるだけ載せるようにしています!
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