2014/10/01

複比の定義と複比が不変であることの証明

分野: 平面図形  レベル: 数学オリンピック

複比(Cross-ratio):
同一直線上の四点 $A,\:P,\:B,\:Q$ に対して複比を,
$(A,B;P,Q)=\dfrac{AP}{BP}\times\dfrac{BQ}{AQ}$ と定義する。

図形問題への応用を念頭に置いているので厳密さよりもわかりやすさを重視しています。

複比について

・複比とは文字通り「比の比」です。同一直線上の四点以外にも様々な複比が定義されますが,ここでは同一直線上の四点に関してのみ考えます。また,ここでは線分の長さの符号(線分の向き)は考えません。

・ $A,\:P,\:B,\:Q$ の順番に並んでいる場合が重要です。このとき複比は,
「線分 $AB$ を基準と見て,$P$ がいくらに内分するのか(→ $\dfrac{AP}{BP}$),$Q$ がいくらに外分するのか(→ $\dfrac{AQ}{BQ}$),の比」と見ることができます。
実は役割を入れ替えて,「線分 $PQ$ を基準と見て,$A$ がいくらに外分するのか(→ $\dfrac{PA}{QA}$),$B$ がいくらに内分するのか(→ $\dfrac{PB}{QB}$),の比」と見ることもできます。

・以上により,複比は「四点により定義される」というよりも「二点のペア二つ」により定義されるとみなすとよいでしょう。

調和点列との関係

複比が $1$ となるような四点を調和点列と言います。

複比が $1$ というのは,内分比と外分比が等しいということで,このような構図はけっこう出現します。

数学オリンピックの図形問題では調和点列の概念を知っていると有利になることがあるのです。(「複比」をそのまま使う場面はほとんどない気がします)

複比が不変であることの証明1

複比に関する著しい定理です。

$O$ から伸びる四本の半直線がある。別の直線 $l$ がこれらの半直線と $A,\:P,\:B,\:Q$ で交わるとする。このとき,複比$(A,B;P,Q)$ は $l$ の取り方によらない。

複比の不変性

つまり,図において$(A,B;P,Q)=(A’,B’;P’,Q’)$ が成立します。この定理により
「 $A,\:P,\:B,\:Q$ が調和点列⇔ $A’,\:P’,\:B’,\:Q’$が調和点列」が分かります。

三角形の面積比に注目した複比の不変性の証明です。

証明1

三角形 $AOP$ と三角形 $BOP$ の面積比を二通りで表すことにより,
$\dfrac{AP}{BP}=\dfrac{OA\sin\angle AOP}{OB\sin\angle BOP}$
同様に,三角形 $AOQ$ と三角形 $BOQ$ の面積比を二通りで表すことにより,
$\dfrac{AQ}{BQ}=\dfrac{OA\sin\angle AOQ}{OB\sin\angle BOQ}$
よって,複比は
$\dfrac{AP}{BP}\times\dfrac{BQ}{AQ}=\dfrac{\sin\angle AOP\sin\angle BOQ}{\sin\angle BOP\sin\angle AOQ}$
この値は半直線たちのなす角のみで決まるので $l$ の取り方によらない!

複比が不変であることの証明2

三角形の相似を用いても複比の不変性を証明することができます。

複比が不変であることの証明2

証明2

$B$ を通り $OA$ と平行な直線と $OP,\:OQ$ の交点をそれぞれ $X,\;Y$ とおく。
すると,$AP:PB=OA:BX$
$AQ:QB=OA:BY$
よって,複比は
$\dfrac{AP}{BP}\times\dfrac{BQ}{AQ}=\dfrac{BY}{BX}$
これが $l$ の取り方によらないことを証明すればよい。
$l$ を変化させたときに $BX,\:BY$ がどう変化するか考える。 $BX$ は $OB$ の長さにのみ依存し,$OB$ の長さに比例するので,定数 $c_1$ を用いて $BX=c_1OB$ と書ける。
同様に,定数 $c_2$ を用いて $BY=c_2OB$ とおける。
よって,$\dfrac{BY}{BX}=\dfrac{c_2}{c_1}$ となり $l$ の取り方によらない。

僕は証明1の方が好きですが証明2もなかなか美しいです。
分野: 平面図形  レベル: 数学オリンピック