2014/02/14

ヘロンの公式の証明と使用例

分野: 平面図形  レベル: 基本公式

三角形の3辺の長さから素早く面積を求める公式です。

ヘロンの公式

3辺の長さが $a, b, c$ の三角形の面積 $S$ は,
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
ただし, $s=\dfrac{a+b+c}{2}\\$


まず,$s$ を計算してから面積 $S$ を計算することによって,素早く面積を求めることができます。

ヘロンの公式の使用例

証明の前にまずは具体例を2問。各辺の長さが整数のときは非常に速いです。

例題1

三辺の長さが $5,6,7$ であるような三角形の面積を求めよ。

ヘロンの公式の使用例

解答

$a=5, b=6, c=7$ としてヘロンの公式を用いる。
1.まず $s$ を求める
$s=\frac{5+6+7}{2}=9$
2.そして面積を計算する
$S=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}\\
=\sqrt{9\cdot 4\cdot 3\cdot 2}=6\sqrt{6}$


例題2

三辺の長さが $6,7,10$ であるような三角形の面積を求めよ。

解答

$a=6,b=7,c=10$ としてヘロンの公式を用いる。
1.まず $s$ を求める
$s=\dfrac{6+7+10}{2}=\dfrac{23}{2}$
2.そして面積を計算する
$S=\sqrt{\frac{23}{2}(\frac{23}{2}-6)(\frac{23}{2}-7)(\frac{23}{2}-10)}\\
=\sqrt{\frac{23}{2}\cdot\frac{11}{2}\cdot\frac{9}{2}\cdot\frac{3}{2}}\\
=\dfrac{3}{4}\sqrt{759}$

ヘロンの公式の証明

証明方法はいろいろありますが,ここでは余弦定理を用いて素直に計算する方法を紹介します。

方針:面積公式→サインをコサインに変換→余弦定理でコサインを辺の長さに変換。これで $S$ を $a,\:b,\:c$ のみの式で表せます。あとは式を地道に整理して因数分解するだけです。

証明

$S=\frac{1}{2}ab\sin C\\
=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos^2 C}\\
=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})^2}\\
=\frac{1}{4}\sqrt{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}\hspace{20mm}(*)\\
=\frac{1}{4}\sqrt{(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)}\\
=\frac{1}{4}\sqrt{\{(a+b)^2-c^2\}\{c^2-(a-b)^2\}}\\
=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}\\
=\sqrt{\frac{(a+b+c)}{2}\frac{(-a+b+c)}{2}\frac{(a-b+c)}{2}\frac{(a+b-c)}{2}}\\
=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

またタンジェントの加法定理などを用いてエレガントに証明することもできます!→タンジェントの美しい関係式の後半部分参照。

辺の長さが無理数の場合

各辺の長さが無理数のときは $s$ が汚らしい値になってしまうのでヘロンの公式は使えません。しかし,辺の長さがもし無理数でも $\sqrt{n}$ という形なら以下の式を用いることでそれなりに素早く計算できます。

$S=\dfrac{1}{4}\sqrt{2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^4+b^4+c^4)}$

(ヘロンの公式の証明の途中式(※)のルートの中身を整理することで得られます。)

例題3

三辺の長さが $\sqrt{5},\sqrt{7},3$ であるような三角形の面積を求めよ。

解答

$s=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{7}+3}{2}$ となりヘロンの公式は使えない(煩雑になる)。
ここで,$a^2=5,b^2=7,c^2=9$ として上記の公式を用いると,
$S=\dfrac{1}{4}\sqrt{2(35+63+45)-(25+49+81)}=\dfrac{\sqrt{131}}{4}$

注:この変形版公式は他にも点と平面の距離公式とその証明の二つ目の証明に使われています。

コメント:円に内接する四角形についても似たような公式が成立します。→ブラーマグプタの公式とその証明


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